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	Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip

Machen wir hierin die Substitution nach (10) so ergiebt sich:

$(W)=A\sin {\frac {2\pi }{T}}\left(1-{\frac {\chi }{\omega }}\right)\left(t-{\frac {x}{\omega }}\right).$

Dies giebt für $x=\chi t$:

$({\overline {W}})=A\sin {\frac {2\pi t}{T}}\left(1-{\frac {\chi ^{2}}{\omega ^{2}}}\right)=A\sin {\frac {2\pi t}{T'}}{,}$

14')

wir haben also eine mit der (nur um eine Größe zweiter Ordnung von $T$ verschiedenen) Schwingungsdauer $\textstyle {T'=T/\left(1-{\frac {\chi ^{2}}{\omega ^{2}}}\right)}$ schwingende und dabei mit der Geschwindigkeit $\chi$ parallel der $X$-Axe fortschreitendende (leuchtende) Ebene. Die fortgepflanzte Schwingung läßt sich schreiben:

$(W)=A\sin {\frac {2\pi }{T'\left(1-{\frac {\chi }{\omega }}\right)}}\left(t-{\frac {x}{\omega }}\right).$

14)

Wir erhalten also in der fortgepflanzten Welle eine im Verhältniß $\textstyle {\left(1-{\frac {\chi }{\omega }}\right)/1}$ verringerte Schwingungsdauer.

Bewegt sich auch noch der Beobachter, so gilt:

$(W')=A\sin {\frac {2\pi }{T'\left(1-{\frac {\chi }{\omega }}\right)}}\left(t-{\frac {x'+\chi 't}{\omega }}\right)$ $=A\sin 2\pi \left(t{\frac {(\omega +\chi '}{T'(\omega -\chi )}}-{\frac {x'}{T'(\omega -\chi )}}\right).$

Diese Formel giebt das Doppler’sche Princip für ebene Wellen. Aber sie ist keineswegs allgemein gültig, sondern setzt ganz wesentlich eine Wellenebene mit durchweg constanter Amplitude voraus.

2) Sei dieselbe Ebene versetzt in Schwingungen nach dem Gesetz:

${\overline {W}}=Ae^{(\mu y+\nu z){\frac {2\pi }{T\omega }}}\sin {\frac {2\pi t}{T}}$

— wie es ähnlich auftritt, wenn eine Welle mit ursprünglich constanter Amplitude durch ein Prisma aus einer absorbirenden Substanz gegangen ist —, dann gilt für die fortgepflanzte Welle:

$W=Ae^{\frac {2\pi (\mu y+\nu z)}{T\omega }}\sin {\frac {2\pi }{T}}\left(t-{\frac {x\sigma }{\omega }}\right){\text{ worin }}\sigma ={\sqrt {1+\mu ^{2}+\nu ^{2}}}{\text{ ist.}}$

Empfohlene Zitierweise:
Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 47. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)