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	Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip

Dies in (3') eingesetzt bestimmt $d$ und $q_{1}\ q_{2}\ q_{3}$.

Man erhält zunächst, da nur positive Zeichen einen Sinn geben:

$q_{1}=1{\text{ oder }}{\frac {\chi }{\omega }}$ $d={\frac {\chi }{\omega ^{2}}}{\text{ oder }}{\frac {1}{\omega }}.$

Ich werde nur die erste Lösung benutzen, da die zweite kein Interesse bietet^[1]; aus ihr folgt:

7)	$d={\frac {\chi }{\omega ^{2}}},\ q_{1}=1,\ q_{2}=q_{3}={\sqrt {1-{\frac {\chi ^{2}}{\omega ^{2}}}}}=q.$

Hiernach können wir die Gleichungen (2) schreiben:

8)

${\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{1}\mu _{1}+y_{1}\nu _{1}+z_{1}\pi _{1}-\varkappa t&&=a_{1}-\varkappa t\\\eta _{1}&=\left(x_{1}\mu _{2}+y_{1}\nu _{2}+z_{1}\pi _{2}\right)q&&=b_{1}q\\\zeta _{1}&=\left(x_{1}\mu _{3}+y_{1}\nu _{3}+z_{1}\pi _{3}\right)q&&=c_{1}q\\\tau &=t-{\frac {\varkappa }{\omega ^{2}}}(\mu _{1}x+\nu _{1}y+\pi _{1}z)&&=t-{\frac {\varkappa a_{1}}{\omega ^{2}}}{,}\end{aligned}}$

wo für $\mu _{h}$, $\nu _{h}$, $\pi _{h}$ keine weiteren Bedingungen mehr gelten, als die aus ihrer Bedeutung als Richtungscosinus von drei auf einander normalen, aber sonst ganz beliebigen Richtungen hervorgehenden.

Es können daher die mit $a_{1}\ b_{1}\ c_{1}$ bezeichneten Aggregate als die Coordinaten der Stelle $x_{1}\ y_{1}\ z_{1}$ in Bezug auf ein mit den Richtungen $\delta _{1}\ \delta _{2}\ \delta _{3}$ zusammenfallendes Coordinatensystem $ABC$ angesehen werden.

Jedes derartige System $\mu _{h}$, $\nu _{h}$, $\pi _{h}$ giebt eine Lösung $(U)$, $(V)$, $(W)$ aus gegebenen $U$, $V$, $W$. Nahmen $U$, $V$, $W$ an einer Oberfläche $f(x,y,z)=0$ gegebene Werthe ${\overline {U}}$, ${\overline {V}}$, ${\overline {W}}$ an, so $(U)$, $(V)$, $(W)$ aus jenen ableitbare $({\overline {U}})$, $({\overline {V}})$, $({\overline {W}})$ an der Oberfläche $(f)=f({\overline {\xi _{1}}},{\overline {\eta _{1}}},{\overline {\zeta _{1}}})=0$, welche wegen der Werthe von $\xi _{1}$, $\eta _{1}$, $\zeta _{1}$ die Eigenschaft hat, sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit $\chi$ parallel der durch die Richtungscosinus $\mu _{1}\ \nu _{1}\ \pi _{1}$ gegebenen Richtung $\delta _{1}$ oder $A$ fortzuschieben. Die Lösungen $(U)$, $(V)$, $(W)$ geben also die Gesetze, nach welchen gewisse in fortschreitender Bewegung begriffene Oberflächen leuchten, wenn sie nur noch der Bedingung

${\frac {(\partial U)}{\partial x}}+{\frac {\partial (V)}{\partial y}}+{\frac {\partial (W)}{\partial z}}=0$

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1. Aus ihr folgt $q_{2}=q_{3}=0$ also auch $m_{2}\ n_{2}\ p_{2}$, $m_{3}\ n_{3}\ p_{3}$ und hiernach $\zeta =\eta =0$.

Empfohlene Zitierweise:
Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 44. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)