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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

Es ist ein interessantes Ergebnis der Einsteinschen Theorie, daß sie für die Geometrie des sphärischen Raumes, welche bisher als eine bloße Möglichkeit zu gelten hatte, Realität innerhalb gravitierender Kugeln fordert.

Innerhalb der Kugel sind »natürlich gemessene« Längen die Größen:

${\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}d\chi ,\ {\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}\sin \chi d\vartheta ,\ {\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}\sin \chi \sin \vartheta d\phi .$

(37)

Der vom Kugelmittelpunkt bis zu ihrer Oberfläche »innen gemessene« Radius wird:

$P_{i}={\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}\chi _{a}.$

(38)

Der Umfang der Kugel, längs eines Meridians (oder jedes anderen größten Kreises) gemessen und durch $2\pi$ dividiert, heiße der »außen gemessene« Radius $P_{a}$. Es folgt:

$P_{a}={\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}\sin \chi _{a}.$

(39)

Nach dem Ausdruck (36) des Linienelements außerhalb der Kugel ist dies $P_{a}$ offenbar identisch mit dem Wert $R_{a}=\left(r_{a}^{3}+\rho \right)^{1/3}$, den die Variable $R$ auf der Kugeloberfläche annimmt.

Mit dem Radius $P_{a}$ erhält man für $\alpha$ aus (34) die einfachen Beziehungen:

${\frac {\alpha }{P_{a}}}=\sin ^{2}\chi _{a},\ \alpha ={\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}P_{a}^{3}.$

(40)

Das Volumen unserer Kugel wird:

$V=\left({\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{\chi _{a}}d\chi \sin ^{2}\chi \int \limits _{0}^{\pi }d\vartheta \sin \vartheta \int \limits _{0}^{2\pi }d\phi$ $=2\pi \left({\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}\right)^{3}\left(\chi _{a}-{\frac {1}{2}}\sin 2\chi _{a}\right).$

Die Masse $M$ unserer Kugel wird daher $\left(\varkappa =8\pi k^{2}\right)$

$M=\rho _{0}\ V={\frac {3}{4k^{2}}}{\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}\left(\chi _{a}-{\frac {1}{2}}\sin 2\chi _{a}\right).$

(41)

2. Man entnimmt den Bewegungsgleichungen eines Punktes von unendlich kleiner Masse außerhalb unserer Kugel, welche dieselbe Form wie beim Massenpunkt (dortige Gleichungen (15)–(17)) behalten, folgende Bemerkungen:

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 432. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/9&oldid=- (Version vom 1.8.2018)