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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

Die Konstanten $\alpha$ und $\rho$ der Lösung für das äußere Gebiet folgen aus (14) zu:

$\rho =\eta _{a}-3x_{a}\quad \alpha =\eta _{a}^{1/3}-\zeta _{a}$

und erhalten die Werte:

$\rho =\left({\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\right)^{-3/2}\left[{\frac {3}{2}}\sin ^{3}\chi _{a}-{\frac {9}{4}}\cos \chi _{a}\left(\chi _{a}-{\frac {1}{2}}\sin 2\chi _{a}\right)\right]$

(33)

$\alpha =\left({\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\right)^{-1/2}\cdot \sin ^{3}\chi _{a}.$

(34)

Das Linienelement im Innern der Kugel nimmt, wenn man statt $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ (ix)$ die Variabeln $\chi ,\ \vartheta ,\ \phi$ benutzt, die einfache Gestalt an:

$ds^{2}=\left({\frac {3\cos \chi _{a}-\cos \chi }{2}}\right)^{2}dt^{2}-{\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}\left[d\chi ^{2}+sin^{2}\chi d\vartheta ^{2}+\sin ^{2}\chi \sin ^{2}\vartheta d\phi ^{2}\right].$

(35)

Außerhalb der Kugel bleibt die Form des Linienelements dieselbe, wie beim Massenpunkt:

$\left.{\begin{array}{cc}&ds^{2}=\left(1-{\frac {\alpha }{R}}\right)dt^{2}-{\frac {dR^{2}}{1-\alpha /R}}-R^{2}\left(d\vartheta ^{2}+\sin ^{2}\vartheta d\phi ^{2}\right)\\\\{\mathsf {wobei:}}&R^{3}=r^{3}+\rho \end{array}}\right\}$

(36)

ist. Nur wird $\rho$ nach (33) bestimmt, während für den Massenpunkt $\rho =\alpha ^{3}$ war.

§ 7. An die im vorigen Paragraphen enthaltene vollständige Lösung unseres Problems knüpfen sich folgende Bemerkungen.

1 . Das räumliche Linienelement ($dt=0$) im Innern der Kugel lautet:

$-ds^{2}={\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}\left[d\chi ^{2}+sin^{2}\chi d\vartheta ^{2}+\sin ^{2}\chi \sin ^{2}\vartheta d\phi ^{2}\right]$

Dies ist das bekannte Linienelement der nichteuklidischen sogenannten Geometrie des sphärischen Raumes. Im Innern unsrer Kugel herrscht also die Geometrie des sphärischen Raumes. Der Krümmungsradius des sphärischen Raumes wird ${\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}$. Unsere Kugel bildet nicht etwa den ganzen, sondern nur einen Teil des sphärischen Raumes, da $\chi$ nicht bis ${\tfrac {\pi }{2}}$, sondern nur bis zur Grenze $\chi _{a}$ wachsen kann. Für die Sonne würde der Krümmungsradius des sphärischen Raumes, der die Geometrie in ihrem Innern beherrscht, rund das 500fache des Sonnenradius (vgl. Formel (39) und (42)).

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 431. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/8&oldid=- (Version vom 1.8.2018)