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Die Addition dieser beiden Gleichungen ergibt:

Integrierender Faktor dieser Gleichung ist . Die Integration liefert:

(18)

Dies zur 3/2ten Potenz erhoben, gibt:

Dividiert man (17) durch diese Gleichung, so fällt heraus, und es bleibt folgende Differentialgleichung für :

Hier ist wieder integrierender Faktor. Die Integration gibt:

(19)

und da:

ist, so folge durch nochmalige Integration:

(20)

Hieraus folgt als Funktion von , und durch Umkehrung als Funktion von . Ferner folgt aus (18) und (19) und damit nach (13) die Funktionen . Somit ist unser Problem auf Quadraturen zurückgeführt.

§ 5. Es sind nun die Integrationskonstanten so zu bestimmen, daß das Innere der Kugel singularitätenfrei bleibt und an der Kugeloberfläche der stetige Anschluß an die Außenwerte der Funktionen und ihrer Derivierten bewirkt wird.

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 428. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/5&oldid=- (Version vom 1.8.2018)