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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

Die Addition dieser beiden Gleichungen ergibt:

$2\zeta {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}=3\eta ^{-2/3}-3\varkappa \rho _{0}.$

Integrierender Faktor dieser Gleichung ist ${\frac {\partial \eta }{\partial x}}$. Die Integration liefert:

$\zeta \left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}=9\eta ^{1/3}-3\varkappa \rho _{0}\eta +9\lambda \quad \left(\lambda {\mathsf {Integrations- \atop konstante}}\right).$

(18)

Dies zur 3/2ten Potenz erhoben, gibt:

$\zeta ^{3/2}\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{3}=\left(9\eta ^{1/3}-3\varkappa \rho _{0}\eta +9\lambda \right)^{3/2}.$

Dividiert man (17) durch diese Gleichung, so fällt $\zeta$ heraus, und es bleibt folgende Differentialgleichung für $\eta$:

${\frac {2{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}}{\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{3}}}=-{\frac {3\varkappa \gamma \eta ^{1/6}}{\left(9\eta ^{1/3}-3\varkappa \rho _{0}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}.$

Hier ist wieder ${\frac {\partial \eta }{\partial x}}$ integrierender Faktor. Die Integration gibt:

${\frac {2}{\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)}}=3\varkappa \gamma \int {\frac {\eta ^{1/6}d\eta }{\left(9\eta ^{1/3}-3\varkappa \rho _{0}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}$

(19)

und da:

${\frac {2}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}}={\frac {2\delta x}{\delta \eta }}$

ist, so folge durch nochmalige Integration:

$x={\frac {\varkappa \gamma }{18}}\int d\eta \int {\frac {\eta ^{1/6}d\eta }{\left(\eta ^{1/3}-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}.$

(20)

Hieraus folgt $x$ als Funktion von $\eta$, und durch Umkehrung $\eta$ als Funktion von $x$. Ferner folgt $\zeta$ aus (18) und (19) und damit nach (13) die Funktionen $f$. Somit ist unser Problem auf Quadraturen zurückgeführt.

§ 5. Es sind nun die Integrationskonstanten so zu bestimmen, daß das Innere der Kugel singularitätenfrei bleibt und an der Kugeloberfläche der stetige Anschluß an die Außenwerte der Funktionen $f$ und ihrer Derivierten bewirkt wird.

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 428. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/5&oldid=- (Version vom 1.8.2018)