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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie.

Von K. Schwarzschild.

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(Vorgelegt am 24. Februar 1916 [s. oben S. 313].)

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§ 1. Als ein weiteres Beispiel zur Einsteinschen Gravitationstheorie habe ich das Gravitationsfeld einer homogenen Kugel von endlichem Radius, die aus inkompressibler Flüssigkeit besteht, berechnet. Der Zusatz »aus inkompressibler Flüssigkeit« ist erforderlich, weil in der Relativitätstheorie die Gravitation nicht nur von der Menge der Materie, sondern auch von deren Energie abhängt und z. B. ein fester Körper von bestimmtem Spannungszustand eine andere Gravitation geben würde als eine Flüssigkeit.

Die Rechnung bildet eine unmittelbare Fortsetzung meiner Mitteilung über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes (diese Sitzungsberichte 1916, S. 189), welche ich kurz mit »Massenpunkt« zitieren werde.

§ 2. Die Einsteinschen Feldgleichungen der Gravitation (diese Sitzungsber. 1915, S. 845) lauten allgemein:

$\sum \limits _{\alpha }{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\sum \limits _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=G_{\mu \nu }.$

(1)

Die Größen $G_{\mu \nu }$ verschwinden, wo keine Materie vorhanden ist. Im Innern einer inkompressiblen Flüssigkeit bestimmen sie sich auf folgende Weise: Der »gemischte Energietensor« einer ruhenden inkompressiblen Flüssigkeit ist nach Hrn. Einstein (diese Sitzungsber. 1914, S. 1062, das dortige $P$ verschwindet wegen der Inkompressibilität):

$T_{1}^{1}=T_{2}^{2}=T_{3}^{3}=-p,\ T_{4}^{4}=\rho _{0}$, (die übrigen $T_{\mu }^{\nu }=0$).

(2)

Dabei bedeutet $p$ den Druck, $\rho _{0}$ die konstante Dichte der Flüssigkeit.

Der »kovariante Energietensor« wird:

$T_{\mu \nu }=\sum \limits _{\tau }T_{\mu }^{\tau }g_{\nu \tau }.$

(3)

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 424. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/1&oldid=- (Version vom 1.8.2018)