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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

wenn Glieder dritter Ordnung in ${\mathfrak {q}}_{y}$ nicht berücksichtigt werden. Nach (28b), (28c) wird alsdann

(28f)

$L=L_{0}-{\frac {1}{2}}\cdot {\mathfrak {q}}_{y}^{2}\left\{{\frac {G}{q}}-\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\mathfrak {q}}_{y}^{2}}}\right)_{{\mathfrak {q}}_{y}={\mathfrak {q}}_{z}=0}\right\}$.

Das Stabilitätskriterium (28e) ist mithin dann und nur dann erfüllt, wenn kleine Abänderungen der Bewegungsrichtung bei konstant gehaltenem Betrage der Geschwindigkeit stets die Lagrangesche Funktion verkleinern. Es folgt:

Die Translationsbewegung einer beliebig verteilten Ladung ist stabil, wenn die Lagrangesche Funktion für die betreffende Richtung ein Maximum besitzt, bei konstantem Betrage der Geschwindigkeit.

Auf solche stabile Bewegungen ist nicht nur die Formel (16a) für die longitudinale Masse, sondern auch die Formel (16b) für die transversale Masse anzuwenden. Denn wenn auch keine wirkliche Einstellung der in der Ladung festen x-Achse in die abgeänderte Impulsrichtung bez. Bewegungsrichtung erfolgen wird, sondern eher ein Oszillieren um dieselbe, so werden doch im Grenzfall hinreichend kleiner Bahnkrümmungen die Richtungen des Impulsvektors und des Geschwindigkeitsvektors keine merklichen Abweichungen aufweisen, mithin die Voraussetzungen zutreffen, auf denen die Formel (16b) beruhte.

Wir berechnen die Lagrangesche Funktion des homogen über sein Volumen geladenen Ellipsoides für eine beliebige Bewegungsrichtung: Wir legen wieder die x-Achse in die Bewegungsrichtung, die jetzt eine beliebige Lage im Ellipsoid haben soll. Die Gleichung (14) des § 7 ergibt für die Lagrangesche Funktion den Ausdruck:

(29)	$L=-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\cdot W'_{e}$.

Dabei bedeutet W'_e die elektrostatische Energie derjenigen Verteilung der Ladung e, die entsteht, wenn das Ellipsoid einer Streckung parallel der x-Achse im Verhältnis $(1:{\sqrt {1-\beta ^{2}}})$ unterworfen wird.

Durch diese Streckung entsteht wieder ein Ellipsoid, mit den Achsen a' b' c'. Die elektrostatische Energie eines solchen beträgt:^[1]

1. Vgl. E. Betti, Lehrbuch der Potentialtheorie, p. 134. 1885.

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 176. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/72&oldid=- (Version vom 1.8.2018)