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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

(elektrostatischen Energien) zweier Ellipsoide von gleicher Form, von denen das eine gleichförmig über sein Volumen geladen ist, während bei dem anderen die Verteilung der nämlichen Gesamtladung der Gleichgewichtsverteilung auf der Oberfläche des leitenden Ellipsoides entspricht, verhalten sich wie 6:5. Daraus folgt, als elektrostatische Energie des Systems S', bei Volumenladung:

(14d)

$W'_{e}={\frac {3}{5}}\cdot {\frac {e^{2}}{Q'}}={\frac {3e^{2}}{5a}}\cdot {\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{2\beta }}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)$.

Nach Gleichung (14) besteht dasselbe konstante Verhältnis 6:5 zwischen den Werten der Lagrangeschen Funktion des Elektrons bei Volumenladung bez. Flächenladung.

Bei Volumenladung ist die Lagrangesche Funktion

(15)	$L=-{\frac {3}{5}}\cdot {\frac {e^{2}}{a}}\cdot \left({\frac {1-\beta ^{2}}{2\beta }}\right)\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right),\ \beta ={\frac {q}{c}}<1$.

Nach (12c) beträgt der Impuls des Elektrons

(15a)

$G={\frac {dL}{dq}}={\frac {3}{5}}\cdot {\frac {e^{2}}{ac}}\cdot {\frac {1}{\beta }}\cdot \left\{\left({\frac {1+\beta ^{2}}{2\beta }}\right)\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)-1\right\}$

und, nach (12d), die Energie

(15b)

$W=-L+qG={\frac {3}{5}}\cdot {\frac {e^{2}}{a}}\cdot \left\{{\frac {1}{\beta }}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)-1\right\}$.

Durch Addition bez. Subtraktion von (15), (15b) ergeben sich für den magnetischen bez. elektrischen Anteil der Energie die Werte:

(15c)

$W_{m}={\frac {3}{10}}\cdot {\frac {e^{2}}{a}}\cdot \left\{\left({\frac {1+\beta ^{2}}{2\beta }}\right)\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)-1\right\}$,

(15d)

$W_{e}={\frac {3}{10}}\cdot {\frac {e^{2}}{a}}\cdot \left\{\left({\frac {3-\beta ^{2}}{2\beta }}\right)\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)-1\right\}$,

Entwickelt man die beiden letzten Ausdrücke in Reihen, die nach Potenzen von β² fortschreiten, und vernachlässigt Größen von der Ordnung β⁴, so wird:

(15e)

$W_{e}={\frac {3}{5}}\cdot {\frac {e^{2}}{a}},\ W_{m}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {e^{2}}{ac^{2}}}\cdot {\frac {q^{2}}{2}}$.

Bei den geringen Geschwindigkeiten langsamer Kathodenstrahlen ist mithin die elektrische Energie von der Geschwindigkeit unabhängig, die magnetische dem Quadrate derselben proportional, wie die potentielle bez. die kinetische Energie der gewöhnlichen Mechanik. Hier gilt noch diejenige Voraussetzung,

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 147. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/43&oldid=- (Version vom 20.8.2021)