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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

Wir schreiben unter dem Integralzeichen partielle Differentialquotienten nach q, um anzudeuten, daß die Differentiation sich auf einen bestimmten Punkt des bewegten Systems bezieht; da die Ladungsverteilung von der Geschwindigkeit unabhängig angenommen wird, so ist $\partial \varrho /\partial q=0$ zu setzen. Nun ergibt aber (10d) für das zweite der obigen Integrale den Ausdruck:

$\int \int \int {\frac {dv}{4\pi }}\left\{{\mathfrak {F}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial q}}+{\mathfrak {F}}_{y}\cdot {\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{y}}{\partial q}}+{\mathfrak {F}}_{z}\cdot {\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{z}}{\partial q}}\right\}$.

Mit Rücksicht auf (10c) und das Verhalten von φ und ${\mathfrak {E}}_{\nu }$ im Unendlichen erhält man als Wert dieses Integrals

$\int \int \int {\frac {dv}{4\pi }}\cdot \varphi {\frac {\partial }{\partial q}}\mathrm {div} \ E=\int \int \int dv\cdot \varphi \cdot {\frac {\partial \varrho }{\partial q}}=0$.

Das erste Integral mit Hülfe von (10e) umformend, gelangen wir zu der Relation:

${\frac {dL}{dq}}={\frac {1}{c}}\cdot \int \int \int {\frac {dv}{4\pi }}\{{\mathfrak {E}}_{y}{\mathfrak {H}}_{z}-{\mathfrak {E}}_{z}{\mathfrak {H}}_{y}\}={\frac {1}{c^{2}}}\cdot \int \int \int \ dv\ {\mathfrak {S}}_{x}$

oder

(12c)

${\mathfrak {G}}_{x}={\frac {dL}{dq}}$.

Die in die Bewegungsrichtung fallende Komponente des Impulses wird erhalten, indem man die Lagrangesche Funktion nach der Geschwindigkeit differenziert; die Relation (12c) entspricht derjenigen, die man in der analytischen Mechanik „erste Zeile der Lagrangeschen Gleichungen" nennt.

Aus (12), (12c), (10g) (10h) folgt jetzt auch der aus der analytischen Mechanik bekannte Ausdruck der Energie durch die Lagrangesche Funktion:

(12d)

$W=-L+q{\frac {dL}{dq}}$.

Die Relationen (12) bis (12d) gelten für beliebige Ladungsverteilung; die über die Symmetrie des Elektrons gemachten Annahmen wurden bei ihrer Ableitung nicht verwandt. Die Symmetrie des Elektrons bedingt, wie im § 6 gezeigt wurde, daß der Betrag des Impulses $G={\mathfrak {G}}_{x}$ wird. Die Gleichungen (12c), (12d) gestatten es daher, die Berechnung des Impulses und der Energie des Elektrons zurückzuführen auf die Bestimmung der Lagrangeschen Funktion.

Um mit Hülfe von (12a) die Lagrangesche Funktion des Elektrons zu ermitteln, bestimmen wir zunächst das Konvektionspotential.

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 144. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/40&oldid=- (Version vom 20.8.2021)