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	Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe

gegeben durch die Gleichung $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=0$ (oder, im Raume, den Kugelkreis, gegeben durch die Gleichung $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=0$) hinzunimmt. Was wird geschehen, wenn man statt dessen irgendeine Gleichung zweiten Grades $\sum \sum \alpha _{ik}u_{i}u_{k}=0$ in sinngemäßer Weise zugrunde legt?

Bleiben wir bei der Ebene, wo unsere neue Gleichung irgendeine Kurve zweiter Klasse vorstellt. Für den projektiven Geometer zerfallen diese Kurven in fünf verschiedene Arten, die ich hier aufzähle, indem ich mir statt des seither benutzten rechtwinkligen Parallelkoordinatensystems jeweils ein geeignetes Dreieckkoordinatensystem (dessen „Linienkoordinaten“ ebenfalls $u_{1}:u_{2}:u_{3}$ genannt werden) zugrunde gelegt denke. Die Liste ist folgende:

A. Eigentliche Kegelschnitte

1. $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=0$, imaginärer Kegelschnitt

2. $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-u_{3}^{2}=0$, reeller Kegelschnitt

B. Punktepaare

3. $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=0$, imaginäres Punktepaar (übereinstimmend mit der Gleichung (2) der Kreispunkte)

4. $u_{1}^{2}-u_{2}^{2}=0$, reelles Punktepaar

C. Einzelner Punkt, doppeltzählend

5. $u_{1}^{2}=0$.

— Das Prinzip dieser Aufzählung ist so einfach, daß jederman die entsprechende Tabelle nach Analogie gleich für $n$ Veränderliche $u_{1},\dots ,u_{n}$ hinschreiben wird: zuerst Gleichungen mit $n$ Quadraten, die wechselnd mit + oder — aneinandergefügt werden, dann solche mit $(n-1)$ Quadraten usw. Die Fälle der ersten Kategorie sollen die allgemeinen heißen, die nachfolgenden einfach spezialisiert, die der dritten Kategorie doppelt spezialisiert usw.

Für jeden dieser Fälle konstruieren wir nun ein Analogon zur Formel (3) für die Entfernung zweier Punkte und erhalten, was Cayley die zugehörige Quasientfemung nannte. Für den Fall des imaginärer Punktepaares werden wir einfach die Formel (3) beibehalten (nur daß jetzt $x_{1}:x_{2}:x_{3}$ und $y_{1}:y_{2}:y_{3}$ nicht notwendig rechtwinklige Parallelkoordinaten, sondern allgemein zu reden zugehörige Dreieckskoordinaten sein werden). In den folgenden beiden Fällen (des reellen Punktepaares und des Doppelpunktes) werden kleine Änderungen anzubringen sein, auf die wir sogleich noch zurückkommen. Schwieriger ergibt sich der geeignete Ansatz für die Quasientfernung in den vorangehenden beiden Fällen (der eigentlichen Kegelschnitte); wir wollen hier darauf nicht näher eingehen, weil es zu viel Raum beanspruchen würde und nach seinen Einzelheiten für den heutigen Vortrag doch nicht in Betracht kommt. Das Resultat

Empfohlene Zitierweise:
Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 540. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/8&oldid=- (Version vom 1.8.2018)