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mögen zuerst die gegebenen Seiten und denselben einschliessen, und nachdem zum Pole genommen ist, werde ein Bogen eines grössten Kreises beschrieben, die Quadranten und vollendet, und die Verlängerung von möge den Bogen im Punkte schneiden. So wird auch in dem Dreiecke die Seite als Rest des Quadranten durch gegeben. Auch wird der Winkel durch zu zweien Rechten ergänzt, denn es herrscht dieselbe Beziehung und Grösse der Winkel, welche durch das Schneiden grader Linien und der Ebenen gebildet werden, und ist ein rechter Winkel. Folglich ist nach dem vierten Satze dieses Capitels ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten. Und wiederum ist der Winkel des Dreiecks gefunden, und als rechter wegen des Polschnitts, auch die Seite , um welche die ganze die übertrifft. Es wird also nach demselben Lehrsatze auch ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten sein. Hieraus ergiebt sich durch auch die gesuchte Seite als Rest des Quadranten, und durch auch als Rest des Ganzen , dies ist der Winkel , und durch den Winkel auch der gesuchte Scheitelwinkel . Wenn anstatt , die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende als gegeben angenommen würde: so ergiebt sich dasselbe. Denn es ergeben sich als Reste der Quadranten und , und nach derselben Beweismethode zwei Dreiecke und von gegebenen Winkeln und Seiten, wie vorhin; wodurch ein Dreieck von gegebenen Seiten und Winkeln wird, was verlangt wurde.

12.

Aber auch wenn irgend welche zwei Winkel nebst irgend einer Seite gegeben sind, ergiebt sich dasselbe. Denn wenn die Construction der vorigen Figur bleibt: so mögen die beiden Winkel und nebst der, beiden Winkeln anliegenden, Seite des Dreiecks gegeben sein. Wenn nun einer der beiden Winkel ein rechter wäre: so könnten alle übrigen Stücke nach dem obigen 4ten Satze durch Rechnung gefunden werden. Hiervon wollen wir aber den Fall unterscheiden, wo die Winkel keine rechte sind. Es ist nun der Rest des Quadranten , und der Rest, wenn von zweien Rechten abgezogen wird, und ist ein Rechter. Folglich ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels, die Winkel nebst den Seiten des Dreiecks . Durch den gegebenen Winkel ergiebt sich der Bogen und der Rest ; ist ein Rechter und ist beiden Dreiecken gemeinschaftlich. Ebenso ergeben sich nach dem 4ten Satze dieses Capitels und , wodurch sich die beiden andern gesuchten Seiten und herausstellen. Wenn ferner einer der beiden gegebenen Winkel der gegebenen Seite gegenüberliegt, z. B. wenn der Winkel statt gegeben wäre, während die übrigen Stücke dieselben bleiben: so stellt sich durch dieselbe Beweismethode das ganze als ein Dreieck von gegebenen Winkeln und Seiten heraus, und ebenso das Theil-Dreieck , weil im vorigen Satze bewiesen ist, dass aus dem, beiden gemeinsamen, Winkel , aus dem Winkel