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Winkel und enthalten, welche als Scheitelwinkel von als gleich angenommenen gleich sind, und weil diejenigen bei und rechte sind, wegen des Schneidens am Pole: so sind auch die Seiten und gleich. Die Dreiecke haben also gleiche Winkel und gleiche Seiten nach dem vorigen Beweise. Und wiederum weil und gleiche Bogen sind, wegen der als gleich vorausgesetzten Winkel und : so ist der ganze Bogen gleich dem ganzen nach dem Grundsatze der Addition von Gleichen. Es giebt also auch hier zwei Dreiecke und , welche eine Seite gleich einer Seite und einen Winkel gleich und die rechten und enthalten. Deswegen sind also auch diese Dreiecke congruent. Wenn nun Gleiches von Gleichem abgezogen wird: so bleibt gleich , gleich , und Winkel gleich dem Winkel . Was zu beweisen war.

8.

Aber auch wenn zwei Dreiecke zwei Paar gleiche Seiten und ein Paar gleiche Winkel enthalten, mögen Letzteren die gleichen Seiten einschliessen, oder mag derselbe an der Basis liegen: so ist auch die Basis der Basis und die übrigen Winkel den übrigen Winkeln gleich. Mag in der vorhergehenden Figur die Seite gleich der Seite , und gleich , und erstens der von den gleichen Seiten eingeschlossene Winkel gleich dem Winkel sein. Ich behaupte, dass auch die Basis der Basis , und der Winkel dem Winkel , und dem gleich sei. Denn wir haben zwei Dreiecke und , deren Winkel und rechte, und gleich , als Reste von Gleichen und . Diese Dreiecke sind also, da auch gleich ist, congruent. Deshalb lassen die Gleichen und auch gleiche Reste und . Es ist aber schon bewiesen, dass der Winkel gleich dem Winkel sei und dass die Winkel bei und rechte sind, also sind auch die Dreiecke und congruent, woraus sich als Reste gleich , und gleich ergeben; und hieraus folgt, dass die Winkel und , und also auch die Reste und einander gleich sind. Wenn aber anstatt der Seiten und , die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Basen und als gleich angenommen werden: so lässt es sich für die anliegenden auf dieselbe Weise beweisen, weil wir wegen der gleichen Aussenwinkel und und der rechten und und wegen der gleichen Seiten und wiederum wie früher zwei Dreiecke und von beziehlich gleichen Seiten und Winkeln haben. Auf ähnliche Weise sind auch die Theil-Dreiecke und congruent, weil und rechte, und gleiche Winkel und und als Reste von Quadranten gleiche Seiten sind, woraus dasselbe folgt, was wir behauptet haben.

9.

Im gleichschenkligen sphärischen Dreiecke sind die Winkel an der Basis unter sich gleich. Es sei ein Dreieck, dessen beide Seiten und gleich sind, so behaupte ich, dass die Winkel an der Basis und