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	Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

3.

In sphärischen Dreiecken, die einen rechten Winkel enthalten, verhält sich die Sehne der doppelten Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, zur Sehne des Doppelten einer von den beiden den rechten Winkel Einschliessenden, wie der Durchmesser der Kugel, zu der Sehne des doppelten Winkels, welcher von der übrigen und der ersten Seite auf dem grössten Kreise der Kugel eingeschlossen ist.

Denn es sei $abc$ ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel $c$ ein rechter sei; und ich behaupte, die Sehne des doppelten $ab$ verhält sich zu der Sehne des doppelten $bc$, wie der Durchmesser der Kugel zu der Sehne, welche im grössten Kreise dem Doppelten des Winkels $bac$ angehört. Man nehme $a$ als Pol, beschreibe den Bogen des grössten Kreises $de$ und vollende die Quadranten der Kreise $abd$ und $ace$ und aus dem Mittelpunkte der Kugel $f$ ziehe man den gemeinschaftlichen Schnitt $fa$ der Kreise $abd$ und $ace$, derjenige aber der Kreise $ace$ und $de$ sei $fe$, und $fd$ der von $abd$ und $de$. Ausserdem noch $fc$ von den Kreisen $ac$ und $bc$. Darauf werden $bg$ rechtwinklig gegen $fa$, $bi$ gegen $fc$, und $dk$ gegen $fe$ gezogen und $gi$ verbunden. Weil nun zwei Kreise, wenn sie gegenseitig durch ihre Pole gehen, sich rechtwinklig schneiden: so wird der Winkel $aed$ ein rechter sein; $acb$ ist aber ein Rechter nach der Voraussetzung, und folglich steht jede von den beiden Ebenen $edf$ und $bcf$ senkrecht auf $aef$. Deswegen, wenn auf der gemeinschaftlichen Schnittlinie $fke$ in der Grundebene ($afe$) ein Loth errichtet wird, so schliesst dasselbe mit $kd$ einen rechten Winkel ein, nach der Definition der rechtwinkligen Ebenen. Deshalb steht auch $kd$ nach dem 4ten Satze des elften Buches Euklid’s auf $aef$ senkrecht. Aus demselben Grunde steht auch $bi$ senkrecht auf derselben Ebene, und deshalb sind $dk$ und $bi$ einander parallel nach dem sechsten Satze desselben Buches. Aber auch $gb$ ist parallel $fd$, weil $fgb$ und $gfd$ rechte Winkel sind; und folglich ist nach dem zehnten Satze des elften Buches Euklid’s der Winkel $fdk$ gleich $gbi$. Da aber Winkel $fkd$ ein rechter ist, so ist es auch $gib$ nach der Definition des Perpendikels. Nun sind die Seiten ähnlicher Dreiecke proportional und also $df$ zu $bg$ wie $dk$ zu $bi$. Aber $bi$ ist die Hälfte der Sehnen des doppelten Bogens $bc$, weil $bi$ auf der aus dem Mittelpunkte $f$ gezogenen Linie senkrecht steht, und aus demselben Grunde ist $bg$ die Hälfte der Sehne der doppelten Seite $ba$, und $dk$ die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens $de$ oder des doppelten Winkels $a$, und $df$ die Hälfte des Durchmessers der Kugel. Also ist offenbar, dass die Sehne der doppelten Seite $ab$ zur Sehne der doppelten $bc$ sich verhält, wie der Durchmesser zu der Sehne des doppelten Winkels $a$ oder des doppelten Bogens $de$; was bewiesen zu haben vortheilhaft sein wird.

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Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper. Ernst Lambeck, Thorn 1879, Seite 47. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/75&oldid=- (Version vom 29.1.2018)