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so ergeben sich und als die Sehnen der beiden andern Winkel und , welche nun die Einrichtung des Verzeichnisses in Theilen, von denen 180 gleich zweien Rechten sind, nachweist. Dasselbe wird sich ergeben, wenn nebst einer der den rechten Winkel einschliessenden Seiten gegeben ist, was mir hinreichend klar zu sein scheint.

4.

Wenn der spitze Winkel nebst den ihn einschliessenden Seiten und ist: so fälle man von aus ein Perpendikel auf , oder, wenn es nöthig ist, auf deren Verlängerung, je nachdem es innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks fällt, dieses sei . Durch dasselbe werden zwei rechtwinklige Dreiecke und unterschieden; und weil in die Winkel gegeben sind, nämlich als Rechter und nach der Voraussetzung: so ergeben sich und als Sehnen der Winkel und in Theilen, von denen als Durchmesser des Kreises 200000 enthält, nach dem Verzeichnisse. Und auf dieselbe Weise, wie , und der Länge nach gegeben sind, ergiebt sich auch , als die Differenz von und . Folglich ergiebt sich, aus den bekannten Seiten und des rechtwinkligen Dreiecks , auch die gesuchte Seite und der Winkel nach der obigen Entwickelung.

5.

Nicht anders wird es sich gestalten, wenn der Winkel ein stumpfer ist, indem das Loth von auf die Verlängerung von ein Dreieck von bekannten Winkeln bildet. Denn der Aussenwinkel ist durch , und als Rechter bekannt; es ergeben sich also und in Theilen, von denen 200000 enthält. Und weil und zu einander ein gegebenes Verhältniss haben: so ergiebt sich auch in denselben Theilen wie , und folglich auch die ganze Linie . Da nun auch in dem rechtwinkligen Dreiecke zwei Seiten und gegeben sind: so ergiebt sich auch die gesuchte und der Winkel nebst dem andern , was verlangt war.

6.

Wenn eine von den gegebenen Seiten und dem gegebenen Winkel gegenüberliegt: so ergiebt sich aus dem Verzeichnisse in Theilen, von denen der Durchmesser des das Dreieck umschreibenden Kreises 200000 enthält; und da das Verhältniss von zu gegeben ist: so ergiebt sich in denselben Theilen, folglich aus dem Verzeichnisse der Winkel nebst dem andern , aus welchem wiederum als Sehne sich ergiebt, und hierdurch sind sie nach jedem beliebigen Maassstabe gegeben.