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	Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

Derselbe Ausdruck ergiebt sich aber auch für die Zehnecksseite, denn, wenn in der nebenstehenden Figur $ag=z$ die Zehnecksseite, $r$ der Radius des Kreises und $b$ dessen Mittelpunkt ist, so muss Winkel $abg={\tfrac {2}{5}}R$ und $bag=bga={\tfrac {4}{5}}R$ sein. Trägt man nun Winkel $abg$ in $g$ an $bg$, so dass Winkel $cgb={\tfrac {2}{5}}R$ , so werden die Dreiecke $abg$ und $agc$ ähnlich, folglich

		$bg:ag=ag:ac$
oder		$r:z=z:r-z$
also		$z^{2}=r^{2}-rz$
oder		$z^{2}+rz=r^{2}$
also		$z=\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {r}{2}}$ wie oben.

⁴⁴) $eb={\frac {r}{2}}$, also $(eb)^{2}={\frac {r^{2}}{4}}$, oder $5(eb)^{2}=5{\frac {r^{2}}{4}}$

$ebd=eb+bd={\frac {r}{2}}+z={\frac {r}{2}}+\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {r}{2}}={\frac {r}{2}}{\sqrt {5}}$ also $(ebd)^{2}=5{\frac {r^{2}}{4}}=5(eb)^{2}$

⁴⁵) Ist in der Figur der Anmerkung 43 $hg=v=$ einer Fünfecksseite, so ist $fg={\frac {v}{2}}$ und da $ac=r-z$, so ist auch $af={\frac {r-z}{2}}$, folglich $z^{2}={\frac {v^{2}}{4}}+{\frac {(r-z)^{2}}{4}}$, dies ergiebt $v^{2}=3z^{2}+2rz-r^{2}$; setzt man hierin $z=\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {r}{2}}$, so wird $v^{2}=\left(5-{\sqrt {5}}\right){\frac {r^{2}}{2}}$; setzt man denselben Werth in $r^{2}+z^{2}$ so wird $r^{2}+z^{2}=\left(5-{\sqrt {5}}\right){\frac {r^{2}}{2}}$, mithin $v^{2}=r^{2}+z^{2}$.

⁴⁶) ${\frac {ac\cdot bd-ab\cdot cd}{ad}}=bc$. Nun ist $ac$ als Fünfecksseite $=117557$, $bd$ als Dreiecksseite $=173205$, $ab$ als Sechsecksseite $=100000$, $cd={\sqrt {ad^{2}-ac^{2}}}=161803$, $ad$ als Durchmesser $=200000$: folglich $ac\cdot bd=20361469678$, $ab\cdot cd=16180343553$, und daraus $bc=20905{,}63063$.

⁴⁷) $ab={\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}$, $ef={\frac {ab}{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}$, $fd=ed-ef={\frac {ac-{\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}}{2}}$

$ac\cdot fd=bd^{2}$, $bd={\sqrt {\frac {ac^{2}-ac{\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}}{2}}}$, $ac^{2}=40000000000$,

$bc$ als Sehne des Bogens von 12 Graden $=20905{,}63062$, $bc^{2}=437045391{,}2017815894$,

$ac^{2}-bc^{2}=39562954608{,}7982184155$, ${\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}=198904{,}38559$,

$ac{\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}=39780877118$, $ac^{2}-ac{\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}=219122881$,

${\frac {ac^{2}-ac{\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}}{2}}=109561440{,}5$, $bd={\sqrt {\frac {ac^{2}-ac{\sqrt {ac^{2}-bc^{2}}}}{2}}}=10467$

⁴⁸) Almagest I. 9.

⁴⁹) Um dies zu erhalten, kann man die gegebenen Winkel zuerst in Bruchtheilen von zweien Rechten ausdrücken und diese Brüche auf den gemeinschaftlichen Nenner 360 bringen, wodurch die Zähler gleich den entsprechenden Bogen in Kreisgraden ausgedrückt werden. Ist z. B. der Winkel $b$ gleich ${\tfrac {2}{9}}\cdot 2R$, $a$ gleich ${\tfrac {3}{9}}\cdot 2R$ und $c$ gleich ${\tfrac {4}{9}}\cdot 2R$, so sind die Bogen $ac=80^{\circ }$, $bc=120^{\circ }$, $ab=160^{\circ }$.

⁵⁰) Hierbei bleibt selbstverständlich die wirkliche Grösse^{[WS 1]} des Durchmessers unbekannt, weil dieselbe durch nichts gegeben ist. In dem Beispiele der Anmerkung ⁴⁹) ist die Sehne $ac=128558$, $bc=173204$ und $ab=196962$ zweihunderttausendstel des Durchmessers des dem Dreieck umschriebenen Kreises.

⁵¹) Euklid’s Elemente Buch III. Propos. 35.

⁵²) Die Bedeutung der Bezeichnung „Rechteck $fad$ und $bae$“ ist $fa\cdot ad$ und $ba\cdot ae$.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: Grössee

Empfohlene Zitierweise:
Nicolaus Copernicus: Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper. Ernst Lambeck, Thorn 1879, Seite 13. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Kreisbewegungen-Coppernicus-0.djvu/405&oldid=- (Version vom 13.11.2019)