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	Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Das Relativitätsprinzip (Ignatowski)

     Wir können weiter fragen: Wie wird ein zum gestrichenen System ruhender Körper durch den Raum im ungestrichenen System abgebildet? Die Antwort ist sehr einfach. Zwei Gerade, die in einer zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ senkrechten Ebene liegen, behalten ihre Länge und den Winkel zwischen ihnen bei. Gerade, die in einer Ebene liegen, die durch ${\mathfrak {c}}_{0}$ geht, werden erstens wieder als Gerade abgebildet. Dies erhellt aus (10), denn die Verkürzung ist proportional der Projektion der betreffenden Geraden auf die $X$-Achse. Zweitens werden die Geraden verkürzt, und zwar, bezeichnet ${\mathfrak {R}}'$ die Strecke im gestrichenen System und ${\mathfrak {R}}$ dieselbe Strecke im ungestrichenen System, so ist wegen (10), da die zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ normale Komponente von ${\mathfrak {R}}'$ gleich ${\mathfrak {R}}'-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'$ ist,

(11)	${\mathfrak {R}}={\mathfrak {R}}'-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'+{\frac {{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'}{p}}={\mathfrak {R}}'-{\frac {(p-1)}{p}}{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'.$

Drittens endlich ändert sich der Winkel zwischen zwei Strecken ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ bei der Abbildung. Bezeichnet $\vartheta '$ den Winkel zwischen ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ im gestrichenen System und $\vartheta$ denselben Winkel im ungestrichenen System, so haben wir

(12)	$\cos \vartheta '={\frac {{\mathfrak {R}}'{\mathfrak {R}}'_{1}}{r'r'_{1}}}$

und

(13)	$\cos \vartheta ={\frac {{\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}}_{1}}{rr_{1}}},$

wo die $r$ die entsprechenden Beträge der Strecken ${\mathfrak {R}}$ bedeuten. Setzen wir (11) in (13) ein und beachten, daß $rr_{1}={\sqrt {{\mathfrak {R}}^{2}{\mathfrak {R}}_{1}^{2}}}$ ist, so erhalten wir

(14)

$\cos \vartheta '={\frac {{\mathfrak {R}}'{\mathfrak {R}}'_{1}-b{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'_{1}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'}{\sqrt {\left\{{\mathfrak {R}}{}^{\prime 2}-b\left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'\right)^{2}\right\}\left\{{\mathfrak {R}}{}_{1}^{\prime 2}-b\left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'_{1}\right)^{2}\right\}}}},$

wo

(15)	$b={\frac {p^{2}-1}{p^{2}}}=q^{2}n$

bedeutet. Bezeichnen wir mit $\gamma '$ und $\gamma '_{1}$ die Winkel, die ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ mit der $X'$-Achse bilden, so folgt unmittelbar aus (14)

(16)	$\cos \vartheta =\cos \vartheta '{\frac {1-b{\frac {\cos \gamma '\cdot \cos \gamma '_{1}}{\cos \vartheta '}}}{\sqrt {\left(1-b\cos ^{2}\gamma '\right)\left(1-b\cos ^{2}\gamma '_{1}\right)}}}.$

Wir sehen also, daß bei konstantem $\vartheta '$, aber bei verschiedener Lage der Strecken ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ (also bei veränderlichen $\gamma '$ und $\gamma '_{1}$) sich $\vartheta$ ändern wird.

     Um ein einfaches Beispiel zu geben, kehren wir zu der Fig. 3 zurück und setzen $O'P'={\mathfrak {R}}',\ O'B'={\mathfrak {R}}'_{1},\ O'P={\mathfrak {R}}$ und $O'B={\mathfrak {R}}_{1}$, dann ist $\vartheta '=\vartheta ',\ \vartheta =\vartheta _{2},\ \gamma '=\vartheta '$ und $\gamma '_{1}=0$, und wir erhalten aus (16)

(16a)

$\cos \vartheta =\cos \vartheta _{2}={\frac {1}{p}}{\frac {\cos \vartheta '}{\sqrt {1-b\cos ^{2}\vartheta '}}}.$

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Empfohlene Zitierweise:
Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Das Relativitätsprinzip (Ignatowski). Archiv der Mathematik und Physik, Leipzig 1911, Seite 17. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:IgnatowskiRelativ.djvu/17&oldid=- (Version vom 25.4.2024)