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	Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Über Überlichtgeschwindigkeiten in der Relativitätstheorie

Fig. 1

sich dann längs dem ersten Hyperbelast und gelangt in das Quadrat $ABCD$, sobald $v>-c$ wird.

Für einen Punkt $M$ der Hyperbel ist $v$ dem absoluten Wert nach gleich $v'$, aber von entgegengesetztem Zeichen. D. h. $-v=v'$. Bezeichnen wir diesen Wert von $v$ durch $v_{0}$, so folgt aus (4)

$v_{0}={\frac {c^{2}}{q}}-{\frac {c^{2}}{q}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {1}{qn}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$

(9)

Für $n=0$ geht $v_{0}$ in ${\tfrac {q}{2}}$ über in Übereinstimmung mit der klassischen Kinematik.

Es bezeichne $\alpha '$ den Winkel zwischen einer zum bewegten Beobachter festen Linie, und der Richtung von ${\mathfrak {c}}_{0}$. Dann ist^[1]

$\cos \alpha ={\frac {\cos \alpha '}{p{\sqrt {1-nq^{2}\cos ^{2}\alpha '}}}}$,

(10)

wo $\alpha$ denselben Winkel für den ruhenden Beobachter bedeutet. Statt (10) können wir auch schreiben

$\mathrm {tg} \alpha =p\ \mathrm {tg} \alpha '$.

(11)

Ruht umgekehrt die Linie in bezug auf den ruhenden Beobachter und bedeutet $\alpha$ den Winkel zwischen der Linie und ${\mathfrak {c}}_{0}$, so ist laut (11)

$p\ \mathrm {tg} \alpha '=\mathrm {tg} \alpha$.

(12)

Wir gehen nun zu dem von Sommerfeld angegebenen Beispiel^[2] über und wollen dasselbe näher untersuchen und an Hand desselben alle oben angegebenen Beziehungen zwischen $v$ und $v'$ erläutern.

In dem Beispiel von Sommerfeld wird angenommen, daß sich ein Lineal $OB$ (Fig. 2), welches mit der $OX$-Richtung (d. h. mit der

Fig. 2

Richtung von ${\mathfrak {c}}_{0}$) einen Winkel $\alpha$ bildet, mit einer konstanten Geschwindigkeit $v_{s}$ senkrecht zu $OX$ (Richtung des Pfeiles) bewegt. [Der Schnittpunkt zwischen $OB$ und $OX$ bewegt sich dann mit einer Geschwindigkeit

$s={\frac {v}{\mathrm {tg} \alpha }}$.

(13)

Dies alles bezieht sich auf das ruhende System.

Für das bewegte System ist wegen (4)

$s'={\frac {s-q}{1-qns}}$.

(14)

Der Winkel $\alpha$ für das bewegte System, d. h. $\alpha '$, wird aber nicht mehr durch Gleichung (12) bestimmt, sondern ergibt sich folgendermaßen.

Der Wert der zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ senkrechten Komponente von $v_{s}$ ist für den bewegten Beobachter wegen (3) gleich ${\tfrac {v_{s}}{p}}$. Deshalb ist für den letzteren die Geschwindigkeit des Schnittpunktes in bezug auf die für ihre bewegte Achse $OX$ gleich ${\tfrac {v_{s}}{p\ \mathrm {tg} \alpha '}}$ und in bezug auf ihn selbst ${\tfrac {v_{s}}{p\ \mathrm {tg} \alpha '}}-q$. D. h. es ist

$s'={\frac {v_{s}}{p\ \mathrm {tg} \alpha '}}-q$.

(15)

Aus (13), (14) und (15) erhalten wir demnach

$\mathrm {tg} \alpha '=p\ \mathrm {tg} \alpha '-v_{s}pqn$.

(16)

Für $v_{s}=0$ geht (16) in (12) über, wie es auch sein muß.

Gleichung (16) läßt sich auch auf einem anderen Wege ableiten.

Die Linie $BX$ ist eine feste in bezug auf das ruhende System. Deshalb ist

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1. v. Ignatowsky, Archiv d. Mathematik und Physik, III. Reihe, 18, 17.
2. Siehe die Diskussion zu meinem Königsberger Vortrag, diese Zeitschr. 11, 972, 1910.

Empfohlene Zitierweise:
Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Über Überlichtgeschwindigkeiten in der Relativitätstheorie. In: Physikalische Zeitschrift. 12. Jahrgang. S. Hirzel, Leipzig 1911, Seite 777. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:IgnatowskiLicht.djvu/2&oldid=- (Version vom 1.8.2018)