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	Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip

Es bezeichne $D$ die Determinante

$D=\left|{pp_{1} \atop ss_{1}}\right|=ps_{1}-p_{1}s$

(11)

so folgt aus (9) und [(10)

$\left.{\begin{aligned}p'=&{\frac {s_{1}}{D}};&&&s'=&-{\frac {s}{D}}\\p_{1}'=&-{\frac {p_{1}}{D}};&&&s_{1}'=&{\frac {p}{D}}.\end{aligned}}\right\}$

(12)

Wir nehmen jetzt in $K$ und $K'$ zwei Elemente $dx$ und $dx'$ von solcher Länge, daß, wenn sie gegenseitig auf Ruhe gebracht würden, sie gleich lang sind. Messen wir jetzt $dx'$ synchron von $K$ aus (also $dt=0$)‚ so erhalten wir

$dx'=pdx$.

(13)

Messen wir $dx$ synchron von $K'$ aus (also $dt'=0$), so folgt‚ dementsprechend

$dx=p'dx'$.

(14)

Nun sind beide Systeme $K$ und $K'$ gleichwertig und $dx$ und $dx'$, gegenseitig auf Ruhe gebracht, gleich lang. Folglich müssen die von beiden Systemen aus gemessenen Längen gleich sein. Also ist

$p=p'$.

(15)

Hieraus und (12) ergibt sich

$p^{2}=s_{1}s_{1}'$.

(16)

Verfolgen wir jetzt die Bewegung irgendeines substantiellen Punktes oder irgendeiner Erscheinung im Raum und bezeichnen die entsprechende Geschwindigkeit durch ${\mathfrak {v}}$ bezw. ${\mathfrak {v}}'$. Es ist dann auf Grund von (9) leicht nachzuweisen, daß

${\mathfrak {v}}'={\frac {{\mathfrak {v}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}+s{\mathfrak {c}}_{0}}{A}}$,

(17)

ist, wo

$A=s_{1}+p_{1}{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}$.

(18)

bedeutet

Da ${\mathfrak {v}}$ vollständig willkürlich ist, so ist klar, daß $p,s$ usw. von ${\mathfrak {v}}$ nicht abhängen können. Nehmen wir an, der bewegliche Punkt ruhe in bezug auf $K'$. Dann ist ${\mathfrak {v}}'=0$ und ${\mathfrak {v}}=q{\mathfrak {c}}_{0}$. Hieraus und aus (17) erhalten wir

$s=-pq$.

(19)

Auf Grund des Vorhergehenden erhalten wir durch ähnliche Überlegungen

$s_{1}=p$,

(20)

so daß wir schreiben können

$\left.{\begin{aligned}dx'&=pdx-pqdt\\dt'&=p_{1}dx+pdt.\end{aligned}}\right\}$

(21)

Es bleibt uns nur noch $p_{1}$ und $p$ zu bestimmen, denn die gestrichenen Größen erhalten wir aus (12).

Zu diesem Zweck führen wir noch ein drittes Koordinatensystem $K''$ ein, welches sich in derselben Richtung ${\mathfrak {c}}_{0}$ bewegt, mit einer Geschwindigkeit $q_{2}$, gemessen von $K$ aus. Die Geschwindigkeit von $K'$ gemessen von $K''$ aus, ist $q_{1}$. Für das Paar $K''K'$ bezeichnen wir die den $p_{1},p,q$ analogen Größen durch ${\overline {p_{1}}},p,q_{1}$ und für das Paar $KK''$ durch $p'',p_{1}'',q_{2}$. Dann läßt sich leicht nachweisen, daß folgende Beziehung existiert:

${\frac {p_{1}}{pq}}={\frac {\overline {p_{1}}}{pq_{1}}}={\frac {p_{1}''}{p''q_{2}}}$.

(22)

Da hier jeder Bruch voneinander unabhängige Größen enthält, so ersehen wir, daß derselbe nur eine Konstante sein kann, die wir durch $-n$ bezeichnen. Wir erhalten also endgültig

$\left.{\begin{aligned}dx'&=pdx-pqdt\\dt'&=-pqndx+pdt.\end{aligned}}\right\}$

(23)

Aus (15) und (12) ergibt sich ferner

$p^{2}={\frac {1}{1-q^{2}n}}$

oder

$p={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}n}}}$.

(24)

Aus (24) folgt, daß $n$, welche Größe wir als eine universelle Raum—Zeit-Konstante bezeichnen können, das reziproke Quadrat einer Geschwindigkeit ist, also eine absolut positive Größe.

Wir ersehen, daß wir den Lorentzschen ähnliche Transformationsgleichungen erhalten haben, nur daß an Stelle von ${\tfrac {1}{c^{2}}}$ hier $n$ steht.

Außerdem ist aber noch das Zeichen unbestimmt, denn wir konnten ebensogut unter der Wurzel in (24) das Pluszeichen setzen.

Um jetzt nun den Zahlenwert und das Zeichen von $n$ zu bestimmen, müssen wir uns an das Experiment wenden. Da wir uns bei der obigen Ableitung auf keine spezielle physikalische Erscheinung gestützt haben, so folgt, daß wir auf Grund einer beliebigen Erscheinung $n$ bestimmen können und immer denselben Wert für $n$ bekommen müssen, denn $n$ ist ja eine universelle Konstante.

Wir können z. B. die Länge eines bewegten Meters von uns aus synchron messen. Ergibt die Messung, daß er sich verkürzt hat, so ist das Minuszeichen zu wählen und aus der Verkürzung läßt sich dann $n$ berechnen. Nun wird aber bekanntlich diese Verkürzung so klein sein, daß wir sie nicht direkt werden messen können.

Wir wenden uns jetzt zu den elektrodynamischen Gleichungen und speziell zu dem Fall einer gleichförmig bewegten Punktladung. Wir wissen, abgesehen vom Relativitätsprinzip, daß die Niveaufläche des Konvektionspotentials obiger Punktladung für den ruhenden Beobachter ein Heaviside-Ellipsoid sein wird, dessen Achsenverhältnis gleich ${\sqrt {1-q^{2}/c^{2}}}$ ist. Nun müssen wir auf Grund des Relativitätsprinzips schließen, daß für den mit der Punktladung mitbewegten Beobachter die Niveaufläche des Potentials eine

Empfohlene Zitierweise:
Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip. Physikalische Zeitschrift. 11. Jahrgang. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 973. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:IgnatowskiBemerkung.djvu/2&oldid=- (Version vom 1.8.2018)