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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

die nach Ausführung der Substitution (S) ganz in $x_{1}$, …, $x_{n}$ wird, möchte ich eine relativganze Function von $X_{1}$, …, $X_{m}$ nennen. Jede ganze Function von $X_{1}$, …, $X_{m}$ ist offenbar auch relativganz; ferner ist die Summe, die Differenz und das Product relativganzer Functionen stets wiederum relativganz.

Das entstehende Problem ist nun zu entscheiden, ob es stets möglich ist, ein endliches System von relativganzen Functionen von $X_{1}$, …, $X_{m}$ aufzufinden, durch die sich jede andere relativganze Function von $X_{1}$, …, $X_{m}$ in ganzer rationaler Weise zusammensetzen läßt. Wir können das Problem noch einfacher formuliren, wenn wir den Begriff des endlichen Integritätsbereiches einführen. Unter einem endlichen Integritätsbereiche möchte ich ein solches System von Functionen verstehen, aus welchem sich eine endliche Anzahl von Functionen auswählen läßt, mit deren Hülfe alle übrigen Functionen des Systems in ganzer rationaler Weise ausdrückbar sind. Unser Problem läuft dann darauf hinaus, zu zeigen, daß die sämtlichen relativganzen Functionen eines beliebigen Rationalitätsbereiches stets einen endlichen Integritätsbereich bilden.

Es liegt auch nahe, das Problem zahlentheoretisch zu verfeinern, indem man die Coefficienten der gegebenen Functionen $f_{1}$, …, $f_{m}$ als ganze rationale Zahlen annimmt und unter den relativganzen Functionen von $X_{1}$, …, $X_{m}$ nur solche rationalen Functionen dieser Argumente versteht, die nach Ausführung jener Substitution (S) ganze rationale Functionen von $x_{1}$, …, $x_{n}$ mit ganzen rationalen Coefficienten werden.

Ein besonderer einfacher Fall dieses verfeinerten Problems ist der folgende: Gegeben seien $m$ ganze rationale Functionen $X_{1}$, …, $X_{m}$ der einen Veränderlichen $x$ mit ganzen rationalen Coefficienten und ferner eine Primzahl $p$. Man betrachte das System derjenigen ganzen rationalen Functionen von $x$, welche sich in der Gestalt

${\frac {G(X_{1},\ \ldots ,\ X_{m})}{p^{h}}}$

darstellen lassen, wo $G$ eine ganze rationale Function der Argumente $X_{1}$, …, $X_{m}$ und $p^{h}$ irgend eine Potenz der Primzahl $p$ ist. Frühere Untersuchungen von mir^[1] zeigen dann unmittelbar, daß alle solchen Ausdrücke bei bestimmtem Exponenten $h$ einen endlichen Integritätsbereich bilden; die Frage ist aber hier, ob das Gleiche auch für alle Exponenten $h$ zugleich gilt, d. h. ob sich eine

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1. Mathematische Annalen, Bd. 36 S. 485.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 282. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/31&oldid=- (Version vom 1.8.2018)