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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

in Richtung $B^{*}C^{*}$. Dabei ist unter $OA'/B^{*}D^{*}$ das Verhältnis der betreffenden zwei parallelen Vektoren verstanden.

Es leuchtet ein, daß diese Festsetzung einen kovarianten Charakter in Bezug auf die Lorentzsche Gruppe trägt.

Wir fragen nun, wie sich hiernach der Raum-Zeitfaden von $F$ verhält, falls der materielle Punkt $F^{*}$ eine gleichförmige Translationsbewegung ausführt, d. h. die Hauptlinie des Fadens von $F^{*}$ eine Gerade ist. Wir verlegen den Raum-Zeit-Nullpunkt $O$ in sie und können durch eine Lorentz-Transformation diese Gerade als $t$-Axe einführen. Nun bedeute $x,\ y,\ z,\ t$ den Punkt $B$ und es sei $\tau ^{*}$ die Eigenzeit des Punktes $B^{*}$, von $O$ aus gerechnet. Unsere Festsetzung führt hier zu den Gleichungen

(25)	${\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}=-{\frac {m^{*}x}{(t-\tau ^{*})^{3}}},\ {\frac {d^{2}y}{d\tau ^{2}}}=-{\frac {m^{*}y}{(t-\tau ^{*})^{3}}},\ {\frac {d^{2}z}{d\tau ^{2}}}=-{\frac {m^{*}z}{(t-\tau ^{*})^{3}}}$

und

(26)	${\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}}=-{\frac {m^{*}}{(t-\tau ^{*})^{2}}}{\frac {d(t-\tau ^{*})}{dt}},$

wobei

(27)	$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(t-\tau ^{*})^{2}$

und

(28)	$\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\tau }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\tau }}\right)^{2}=\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-1$

ist. Die drei Gleichungen (25) lauten in Anbetracht von (27) genau wie die Gleichungen für die Bewegung eines materiellen Punktes unter Anziehung eines festen Zentrums nach dem Newtonschen Gesetze, nur daß statt der Zeit $t$ die Eigenzeit $\tau$ des materiellen Punktes tritt. Die vierte Gleichung (26) gibt sodann den Zusammenhang zwischen Eigenzeit und Zeit für den materiellen Punkt.

Es möge nun die Bahn des Raumpunktes $x,\ y,\ z$ für die verschiedenen $\tau$ eine Ellipse mit der großen Halbaxe $a$, der Exzentrizität $e$ sein und in ihr $E$ die exzentrische Anomalie bedeuten, ${\mathsf {T}}$ den Zuwachs an Eigenzeit für einen vollen Umlauf in der Bahn, endlich $n{\mathsf {T}}=2\pi$ sein, sodaß bei geeignetem Anfangspunkte von $\tau$ die Keplersche Gleichung

(29)	$n\tau =E-e\ \sin E$

besteht. Verändern wir noch die Zeiteinheit und bezeichnen die Lichtgeschwindigkeit mit $c$, so entsteht aus (28):

(30)	$\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-1={\frac {m^{*}}{ac^{2}}}{\frac {1+e\ \cos E}{1-e\ \cos E}}.$

Empfohlene Zitierweise:
Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 110. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/58&oldid=- (Version vom 1.8.2018)