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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

annehmen, unter $\nu$ die wirkliche Ruh-Massendichte an $x,\ y,\ z,\ t$ verstanden. Zufolge dieser Festsetzung variiert dann das Integral (7), über das Gebiet der Sichel erstreckt, bei der virtuellen Verrückung als eine bestimmte Funktion ${\mathsf {N}}+\delta {\mathsf {N}}$ von $\vartheta$ und wir wollen diese Funktion ${\mathsf {N}}+\delta {\mathsf {N}}$ die Massenwirkung bei der virtuellen Verrückung nennen.

Ziehen wir die Schreibweise mit Indizes heran, so wird sein:

(9)	$d(x_{h}+\delta x_{h})=dx_{h}+{\underset {k}{\sum }}{\frac {\partial \delta x_{h}}{\partial x_{k}}}dx_{k}+{\frac {\partial \delta x_{h}}{\partial \vartheta }}d\vartheta \qquad \left({\begin{array}{c}k=1,2,3,4\\h=1,2,3,4\end{array}}\right).$

Nun leuchtet auf Grund der schon gemachten Bemerkungen alsbald ein, daß der Wert von ${\mathsf {N}}+\delta {\mathsf {N}}$ beim Parameterwerte $\vartheta$ sein wird:

(10)	${\mathsf {N}}+\delta {\mathsf {N}}=\iiiint \nu {\frac {d(\tau +\delta \tau )}{d\tau }}dx\,dy\,dz\,dt,$

über die Sichel erstreckt, wobei $d(\tau +\delta \tau )$ diejenige Größe bedeutet, die sich aus

${\sqrt {-(dx_{1}+d\delta x_{1})^{2}-(dx_{2}+d\delta x_{2})^{2}-(dx_{3}+d\delta x_{3})^{2}-(dx_{4}+d\delta x_{4})^{2}}}$

mittelst (9) und

$dx_{1}=w_{1}d\tau ,\quad dx_{2}=w_{2}d\tau ,\quad dx_{3}=w_{3}d\tau ,\quad dx_{4}=w_{4}d\tau ,\quad d\vartheta =0$

ableitet; es ist also

(11)	${\frac {d(\tau +\delta \tau )}{d\tau }}={\sqrt {-{\underset {h}{\sum }}\left(w_{h}+{\underset {k}{\sum }}{\frac {\partial \delta x_{h}}{\partial x_{k}}}w_{k}\right)^{2}}}\qquad \left({\begin{array}{c}k=1,2,3,4\\h=1,2,3,4\end{array}}\right).$

Nun wollen wir den Wert des Differentialquotienten

(12)	$\left({\frac {d({\mathsf {N}}+\delta {\mathsf {N}})}{d\vartheta }}\right)_{(\vartheta =0)}$

einer Umformung unterwerfen. Da jedes $\delta x_{h}$ als Funktion der Argumente $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ \vartheta$ für $\vartheta =0$ allgemein verschwindet, so ist auch allgemein ${\frac {\partial \delta x_{h}}{\partial x_{k}}}=0$ für $\vartheta =0$. Setzen wir nun

(13)	$\left({\frac {\partial \delta x_{h}}{\partial \vartheta }}\right)_{\vartheta =0}=\xi _{h}\qquad (h=1,2,3,4),$

so folgt auf Grund von (10) und (11) für den Ausdruck (12):

$-\iiiint \nu {\underset {h}{\sum }}w_{h}\left({\frac {\partial \xi _{h}}{\partial x_{1}}}w_{1}+{\frac {\partial \xi _{h}}{\partial x_{2}}}w_{2}+{\frac {\partial \xi _{h}}{\partial x_{3}}}w_{3}+{\frac {\partial \xi _{h}}{\partial x_{4}}}w_{4}\right)dx\,dy\,dz\,dt.$

Für die Systeme $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}$ auf der Begrenzung der Sichel sollen $\delta x_{1},\ \delta x_{2},\ \delta x_{3},\ \delta x_{4}$ bei jedem Werte $\vartheta$ verschwinden und sind

Empfohlene Zitierweise:
Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 104. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/52&oldid=- (Version vom 1.8.2018)