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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

(66)	$\left|{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}},\ {\frac {\partial L}{\partial x_{2}}},\ {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}},\ {\frac {\partial L}{\partial x_{4}}}\right|$

zu verstehen sein.

Stellt $s=\left|s_{1},\ s_{2},\ s_{3},\ s_{4}\right|$ einen Raum-Zeit-Vektor I. Art vor, so wird

(67)	${\text{lor }}{\overline {s}}={\frac {\partial s_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial s_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial s_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial s_{4}}{\partial x_{4}}}$

zu erklären sein. Treten bei Anwendung einer Lorentz-Transformation ${\mathsf {A}}$ die Zeichen ${\text{lor}}',\ s'$ an Stelle von ${\text{lor}},\ s,$ so folgt

${\text{lor}}'\ {\overline {s}}'=({\text{lor }}{\mathsf {A}})({\mathsf {\overline {A}}}{\overline {s}})={\text{lor }}{\overline {s}},$

d. h. ${\text{lor }}{\overline {s}}$ ist eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen.

In allen diesen Beziehungen spielt der Operator ${\text{lor}}$ selbst die Rolle eines Raum-Zeit-Vektors I. Art.

Stellt $f$ einen Raum-Zeit-Vektor II. Art vor, so hat nun $-{\text{lor }}f$ den Raum-Zeit-Vektor I. Art mit den Komponenten

${\begin{array}{ccccccc}&&{\dfrac {\partial f_{12}}{\partial x_{2}}}&+&{\dfrac {\partial f_{13}}{\partial x_{3}}}&+&{\dfrac {\partial f_{14}}{\partial x_{4}}},\\\\{\dfrac {\partial f_{21}}{\partial x_{1}}}&&&+&{\dfrac {\partial _{23}}{\partial x_{3}}}&+&{\dfrac {\partial _{24}}{\partial x_{4}}},\\\\{\dfrac {\partial f_{31}}{\partial x_{1}}}&+&{\dfrac {\partial _{32}}{\partial x_{2}}}&&&+&{\dfrac {\partial _{34}}{\partial x_{4}}},\\\\{\dfrac {\partial f_{41}}{\partial x_{1}}}&+&{\dfrac {\partial _{42}}{\partial x_{2}}}&+&{\dfrac {\partial _{43}}{\partial x_{3}}},\end{array}}$

zu bedeuten. Hiernach läßt sich das System der Differentialgleichungen (A) in der kurzen Form

{A}	${\text{lor }}f=-s$

zusammenziehen. Ganz entsprechend wird das System der Differentialgleichungen (B) zu schreiben sein:

{B}	${\text{lor }}F^{*}=0.$

Die im Hinblick auf die Definition (67) von ${\text{lor }}{\overline {s}}$ gebildeten Verbindungen ${\text{lor }}({\overline {{\text{lor }}f}})$ und ${\text{lor }}({\overline {{\text{lor }}F^{*}}})$ verschwinden offenbar identisch, indem $f$ und $F^{*}$ alternierende Matrizen sind. Darnach folgt aus {A} für den Strom $s$ die Beziehung

(68)	${\frac {\partial s_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial s_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial s_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial s_{4}}{\partial x_{4}}}=0,$

Empfohlene Zitierweise:
Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 90. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/38&oldid=- (Version vom 1.8.2018)