(37) die Identität
. Es wird danach
eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen (s. Gleich. (26) in § 5).
Für die duale Matrix
folgt dann mit Rücksicht auf (36):
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woraus zu ersehen ist, daß mit dem Raum-Zeit-Vektor II. Art
zusammen auch die zugehörige duale Matrix
sich wie ein Raum-Zeit-Vektor II. Art abändert, und es heiße deshalb
mit den Komponenten
der duale Raum-Zeit-Vektor von
.
6°. Sind
und
zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art, so wird unter
(wie auch unter
) die Verbindung
(43)
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aus den bezüglichen Komponenten zu verstehen sein. Bei einer Lorentz-Transformation
ist wegen
diese Verbindung invariant. — Ist
, so sollen
und
normal zu einander heißen.
Zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art
geben ferner zur Bildung der
-reihigen Matrix
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Anlaß. Es zeigt sich dann sofort, daß das System der sechs Größen
(44)
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sich bei den Lorentz-Transformationen als Raum-Zeit Vektor II. Art verhält. Der Vektor II. Art mit diesen Komponenten (44) werde mit
bezeichnet. Man erschließt leicht
. Der duale Vektor von
soll
geschrieben werden.
Ist
ein Raum-Zeit-Vektor I. Art,
ein Raum-Zeit-Vektor II. Art, so bedeutet
zunächst jedenfalls eine
-reihige Matrix. Bei einer Lorentz-Transformation
geht
in
in
über; dabei wird
, d. h.
transformiert sich wieder als ein Raum-Zeit-Vektor I. Art.
Man verifiziert, wenn
ein Vektor I.,
ein Vektor II. Art ist, leicht die wichtige Identität
(45)
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