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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

über, wobei

$a_{hk}=\alpha _{1h}\alpha _{1k}+\alpha _{2h}\alpha _{2k}+\alpha _{3h}\alpha _{3k}+\alpha _{4h}\alpha _{4k}$

wird, d. h. die $4\times 4$-reihige (symmetrische) Matrix der Koeffizienten $a_{hk}$ dieser Form wird das Produkt ${\mathsf {{\overline {A}}A}}$ der transponierten Matrix von ${\mathsf {A}}$ in die Matrix ${\mathsf {A}}$. Soll also durch die Transformation der neue Ausdruck

$x_{1}^{'2}+x_{2}^{'2}+x_{3}^{'2}+x_{4}^{'2}$

hervorgehen, so muß

(39)	${\mathsf {{\overline {A}}A}}=1$

die Matrix 1 werden. Dieser Relation hat demnach ${\mathsf {A}}$ zu entsprechen, wenn die Transformation (38) eine Lorentz-Transformation sein soll. Für die Determinante von ${\mathsf {A}}$ folgt aus (39): $({\text{Det }}{\mathsf {A}})^{2}=1,\ {\text{Det }}{\mathsf {A}}=\pm 1$. Die Bedingung (39) kommt zugleich auf

(40)	${\mathsf {A}}^{-1}={\mathsf {\overline {A}}}$

hinaus, d. h. die reziproke Matrix von ${\mathsf {A}}$ muß sich mit der transponierten von ${\mathsf {A}}$ decken.

Für^{[WS 1]} ${\mathsf {A}}$ als Lorentz-Transformation haben wir noch weiter die Bestimmungen getroffen, daß ${\text{Det }}{\mathsf {A}}=+1$ sei, daß jede der Größen $\alpha _{14},\ \alpha _{24},\ \alpha _{34},\ \alpha _{41},\ \alpha _{42},\ \alpha _{43}$ rein imaginär (bez. Null), die anderen Koeffizienten in ${\mathsf {A}}$ reell seien und endlich noch $\alpha _{44}>0$ sei.

5°. Ein Raum-Zeit-Vektor I. Art $s_{1},\ s_{2},\ s_{3},\ s_{4}$ soll durch die $1\times 4$-reihige Matrix seiner 4 Komponenten:

(41)	$s=|s_{1},\ s_{2},\ s_{3},\ s_{4}|$

repräsentiert werden und ist bei einer Lorentz-Transformation ${\mathsf {A}}$ durch $s{\mathsf {A}}$ zu ersetzen.

Ein Raum-Zeit-Vektor II. Art mit den Komponenten $f_{23},\ f_{31},\ f_{12},\ f_{14},\ f_{24},\ f_{34}$, soll durch die alternierende Matrix

(42)	$f={\begin{vmatrix}0,&f_{12},&f_{13},&f_{14}\\f_{21},&0,&f_{23},&f_{24}\\f_{31},&f_{32},&0,&f_{34}\\f_{41},&f_{42},&f_{43},&0\end{vmatrix}}$

repräsentiert werden und ist (s. die in § 5 (23) und (24) festgesetzte Regel) bei einer Lorentz-Transformation ${\mathsf {A}}$ durch ${\mathsf {\overline {A}}}f{\mathsf {A}}={\mathsf {A}}^{-1}f{\mathsf {A}}$ zu ersetzen. Dabei gilt in Bezug auf den Ausdruck

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: Fär

Empfohlene Zitierweise:
Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 82. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/30&oldid=- (Version vom 1.8.2018)