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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

Indem wir $\varrho _{1},\ \varrho _{2},\ \varrho _{3},\ \varrho _{4}$ durch diese Größe dividieren, entstehen die 4 Werte

$w_{1}={\frac {{\mathfrak {w}}_{x}}{\sqrt {1-{\mathfrak {w}}^{2}}}},\ w_{2}={\frac {{\mathfrak {w}}_{y}}{\sqrt {1-{\mathfrak {w}}^{2}}}},\ w_{3}={\frac {{\mathfrak {w}}_{z}}{\sqrt {1-{\mathfrak {w}}^{2}}}},\ w_{4}={\frac {i}{\sqrt {1-{\mathfrak {w}}^{2}}}},$

zwischen welchen die Beziehung

(19)	$w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}+w_{4}^{2}=-1$

besteht. Offenbar sind diese 4 Werte eindeutig durch den Vektor ${\mathfrak {w}}$ bestimmt, und umgekehrt folgt aus irgend 4 Werten $w_{1},\ w_{2},\ w_{3},\ w_{4},$ wobei $w_{1},\ w_{2},\ w_{3}$ reell, $-iw_{4}$ reell und positiv ist und die Bedingung (19) statthat, rückwärts gemäß diesen Gleichungen eindeutig ein Vektor ${\mathfrak {w}}$ von einem Betrage $<1$.

Die Bedeutung von $w_{1},\ w_{2},\ w_{3},\ w_{4}$ hier ist, daß sie die Verhältnisse von $dx_{1},\ dx_{2},\ dx_{3},\ dx_{4}$ zu

(20)	${\sqrt {-(dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2})}}=dt{\sqrt {1-{\mathfrak {w}}^{2}}}$

für die im Raum-Zeitpunkte $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}$ befindliche Materie beim Übergang zu zeitlich benachbarten Zuständen derselben Stelle der Materie sind. Nun übertragen sich die Gleichungen (10), (11), (12) sofort auf die zusammengehörigen Differentiale $dx,\ dy,\ dz,\ dt$ und $dx',\ dy',\ dz',\ dt'$ und insbesondere wird daher für sie

$-(dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2})=-(dx_{1}^{'2}+dx_{2}^{'2}+dx_{3}^{'2}+dx_{4}^{'2})$

sein. Nach Ausführung der Lorentz-Transformation ist im neuen Bezugsystem als Geschwindigkeit der Materie im nämlichen Raum-Zeitpunkte $x',\ y',\ z',\ t'$ der Vektor ${\mathfrak {w}}'$ mit den Verhältnissen ${\frac {dx'}{dt'}},\ {\frac {dy'}{dt'}},\ {\frac {dz'}{dt'}}$ als Komponenten auszulegen.

Nunmehr ist ersichtlich, daß das Wertsystem

$x_{1}=w_{1},\quad x_{2}=w_{2},\quad x_{3}=w_{3},\quad x_{4}=w_{4}$

vermöge der Lorentz-Transformation (10), (11), (12) eben in dasjenige neue Wertsystem

$x'_{1}=w'_{1},\quad x'_{2}=w'_{2},\quad x'_{3}=w'_{3},\quad x'_{4}=w'_{4}$

übergeht, das für die Geschwindigkeit ${\mathfrak {w}}'$ nach der Transformation genau die Bedeutung hat wie das erstere Wertsystem für die Geschwindigkeit vor der Transformation.

Empfohlene Zitierweise:
Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 64. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/12&oldid=- (Version vom 1.8.2018)