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	Hendrik Antoon Lorentz: Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt

wird diese Zeit $t_{0}$ eine Funktion der Koordinaten $x$, $y$, $z$ des Aufpunktes $P$ sein. Der Wert $\left[\varrho \right]$ hängt infolgedessen von diesen Koordinaten ab, und man sieht leicht, daß

${\frac {\partial \left[\varrho \right]}{\partial x}}=-{\frac {k}{l}}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial r'}{\partial x}}\left[{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}\right]{\text{, usw.}}$

Deshalb wird (25) gleich

$\left[\varrho \right]+k^{2}{\frac {w}{c^{2}}}x\left[{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}\right]-\left(x{\frac {\partial [\varrho ]}{\partial x}}+y{\frac {\partial [\varrho ]}{\partial y}}+z{\frac {\partial [\varrho ]}{\partial z}}\right).$

Ferner muß, wenn wir weiterhin mit $r'$ die oben $r'_{0}$ genannte Größe bezeichnen, der Faktor $\textstyle {\frac {1}{r'}}$ durch

${\frac {1}{r'}}-x{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{r'}}\right)-y{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {1}{r'}}\right)-z{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{r'}}\right){,}$

ersetzt werden, sodaß schließlich im Integral (17) das Element $dS$ mit

${\frac {\left[\varrho \right]}{r}}+k^{2}{\frac {w}{c^{2}}}{\frac {x}{r'}}\left[{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}\right]-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {x[\varrho ]}{r'}}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {y[\varrho ]}{r'}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {z[\varrho ]}{r'}}$

multipliziert wird.

Das ist einfacher als die ursprüngliche Form, weil weder $r'$ noch die Zeit, für welche die eingeklammerten Größen genommen werden müssen, von $x$, $y$, $z$ abhängen. Benutzen wir (23) und bedenken, daß $\textstyle {\int \varrho dS=0}$, so erhalten wir

$\varphi '=k^{2}{\frac {w}{4\pi c^{2}r'}}\left[{\frac {\partial {\mathfrak {p}}_{x}}{\partial t}}\right]-{\frac {1}{4\pi }}\left\{{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\left[{\mathfrak {p}}_{x}\right]}{r'}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\left[{\mathfrak {p}}_{y}\right]}{r'}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\left[{\mathfrak {p}}_{z}\right]}{r'}}\right\}{,}$

In dieser Gleichung sind alle eingeklammerten Größen für denjenigen Augenblick zu nehmen, für den die Ortszeit des Mittelpunktes des Teilchens gleich $\textstyle {t'-{\frac {r'}{c}}}$ ist.

Wir schließen diese Erwägungen mit der Einführung eines neuen Vektors ${\mathfrak {p}}'$, dessen Komponenten

(26)	${\mathfrak {p'}}_{x}=kl{\mathfrak {p}}_{x,}\quad {\mathfrak {p'}}_{y}=l{\mathfrak {p}}_{y,}\quad {\mathfrak {p'}}_{z}=l{\mathfrak {p}}_{z}$

sind. Gleichzeitig gehen wir zu $x'$, $y'$, $z'$, $t'$ als unabhängigen Veränderlichen über. Das Schlußergebnis ist

$\varphi '={\frac {w}{4\pi c^{2}r'}}{\frac {\partial \left[{\mathfrak {p'}}_{x}\right]}{\partial t'}}-{\frac {1}{4\pi }}\left\{{\frac {\partial }{\partial x'}}{\frac {\left[{\mathfrak {p'}}_{x}\right]}{r'}}+{\frac {\partial }{\partial y'}}{\frac {\left[{\mathfrak {p'}}_{y}\right]}{r'}}+{\frac {\partial }{\partial z'}}{\frac {\left[{\mathfrak {p'}}_{z}\right]}{r'}}\right\}.$

Die Transformation der Gleichung (18) für das Vektorpotential ist weniger schwierig, weil es den unendlich kleinen Vektor ${\mathfrak {u}}'$ enthält. Unter Berücksichtigung von (8), (24), (26) und (5) findet man

${\mathfrak {a}}'={\frac {1}{4\pi cr'}}{\frac {\partial \left[{\mathfrak {p'}}\right]}{\partial t'}}.$

Empfohlene Zitierweise:
Hendrik Antoon Lorentz: Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1913, Seite 14. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Elektromagnetische_Erscheinungen.djvu/9&oldid=- (Version vom 31.7.2018)