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	Hendrik Antoon Lorentz: Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern

die Componente von ${\mathfrak {p}}$ nach der Verbindungslinie $Q_{0}P$ ist.

Die „beobachtete“ Schwingungsdauer wird also

T'={\frac {T}{1+{\frac {p_{r}}{V}}}}=T\left(1-{\frac {{\mathfrak {p}}_{r}}{V}}\right){,}

was mit dem bekannten Doppler’schen Gesetze übereinstimmt^[1].

↑ Die hier gegebene Ableitung lässt sich leicht so verallgemeinern, dass sie auf alle ähnlichen Fälle, z. B. auch auf tönende Körper, anwendbar wird. Ein beliebiger Körper

A

verschiebe sich mit der constanten Geschwindigkeit

{\mathfrak {p}}

in einem Medium, das entweder in Ruhe bleibe, oder in einen stationären Bewegungszustand gerathe. In diesem letzteren Falle (der den ersteren miteinschliesst) findet man in irgend einem Punkte

P

, der mit dem Körper $A$ fortschreitet, immerfort denselben Bewegungszustand, und kann man also sagen, es nehme die ganze Figur, welche die Vertheilung der Geschwindigkeiten in der Umgebung von

A

darstellt, an der Translation

{\mathfrak {p}}

theil.
Man denke sich nun weiter, dass die Theile des Körpers einfache Schwingungen von der Periode

T

und constanter Amplitude ausführen. Es ist wohl ohne weiteres klar, dass dann, wenn seit dem Anfang dieser Bewegung eine genügend lange Zeit verstrichen ist, in dem soeben genannten Punkte

P

die Abweichung vom Gleichgewichte, oder, besser gesagt, von dem stationären Strömungszustande, nothwendig die Periode

T

haben muss. Führt man jetzt die Coordinaten

x

,

y

,

z

in Bezug auf ein mit dem Körper fortschreitendes Axensystem (relative Coordinaten) ein, und beschränkt sich auf einen Raum, der so weit von A entfernt und so klein ist, dass man von ebenen Wellen in demselben reden darf, so wird sich die genannte Abweichung darstellen lassen durch Ausdrücke von der Form

\phi =A\cos {\frac {2\pi }{T}}\left\{t-{\frac {a_{x}x+a_{y}y+a_{z}z}{V}}+p\right\}.

(45)

Es sind hier $a_{x}$ , $a_{y}$ , $a_{z}$ die Richtungsconstanten der Wellennormale, während V die Fortpflanzungsgeschwindigkeit bedeutet.
Will man nun wissen, mit welcher Frequenz $\phi$ in einem ruhenden Punkte das Zeichen wechselt, so hat man die Coordinaten $\mathbf {x}$ , $\mathbf {y}$ , $\mathbf {z}$ in Bezug auf ruhende Axen einzuführen. Durch Anwendung der Beziehungen (44) verwandelt sich (45) in

\phi =A\cos {\frac {2\pi }{T}}\left\{t+{\frac {{\mathfrak {p}}_{n}}{V}}t-{\frac {a_{x}\mathbf {x} +a_{y}\mathbf {y} +a_{z}\mathbf {z} }{V}}+p\right\}{,}

wo

{\mathfrak {p}}_{n}=a_{x}{\mathfrak {p}}_{x}+a_{y}{\mathfrak {p}}_{y}+a_{z}{\mathfrak {p}}_{z}

die Componente von ${\mathfrak {p}}$ nach der Wellennormale ist.
Für die beobachtete Schwingungsdauer ergibt sich jetzt

T'={\frac {T}{1+{\frac {p_{n}}{V}}}}=T\left(1-{\frac {{\mathfrak {p}}_{n}}{V}}\right).

Was wir oben ohne Beweis hingestellt haben, dass nämlich in dem Medium überall die Periode $T$ bestehe, ist nichts Anderes, als was Petzval, in seinen Angriffen gegen die Doppler’sche Theorie, das Gesetz von der Unveränderlichkeit der Schwingungsdauer nannte (Wiener Sitz.-Ber., Bd. 8, p. 134, 1852). Nur vergass derselbe zu bemerken, dass dies Gesetz nur dann Geltung habe, wenn man die Erscheinungen als abhängig von $t$ und den relativen Coordinaten betrachtet.
Der Beweis des Satzes ist übrigens leicht zu führen, wenn die Schwingungen unendlich klein sind, und man es also mit homogenen, linearen Differentialgleichungen zu thun hat.
Was die akustischen Erscheinungen betrifft, so wurde das Problem ausführlich behandelt von Was (Het beginsel van Doppler in de geluidsleer, Leiden, Engels, 1881).

Empfohlene Zitierweise:
Hendrik Antoon Lorentz: Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. E. J. Brill, Leiden 1895, Seite 57. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Elektrische_und_Optische_Erscheinungen_(Lorentz)_057.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)

[1] Die hier gegebene Ableitung lässt sich leicht so verallgemeinern, dass sie auf alle ähnlichen Fälle, z. B. auch auf tönende Körper, anwendbar wird. Ein beliebiger Körper $A$ verschiebe sich mit der constanten Geschwindigkeit ${\mathfrak {p}}$ in einem Medium, das entweder in Ruhe bleibe, oder in einen stationären Bewegungszustand gerathe. In diesem letzteren Falle (der den ersteren miteinschliesst) findet man in irgend einem Punkte $P$ , der mit dem Körper $A$ fortschreitet, immerfort denselben Bewegungszustand, und kann man also sagen, es nehme die ganze Figur, welche die Vertheilung der Geschwindigkeiten in der Umgebung von $A$ darstellt, an der Translation ${\mathfrak {p}}$ theil.
Man denke sich nun weiter, dass die Theile des Körpers einfache Schwingungen von der Periode $T$ und constanter Amplitude ausführen. Es ist wohl ohne weiteres klar, dass dann, wenn seit dem Anfang dieser Bewegung eine genügend lange Zeit verstrichen ist, in dem soeben genannten Punkte $P$ die Abweichung vom Gleichgewichte, oder, besser gesagt, von dem stationären Strömungszustande, nothwendig die Periode $T$ haben muss. Führt man jetzt die Coordinaten $x$ , $y$ , $z$ in Bezug auf ein mit dem Körper fortschreitendes Axensystem (relative Coordinaten) ein, und beschränkt sich auf einen Raum, der so weit von A entfernt und so klein ist, dass man von ebenen Wellen in demselben reden darf, so wird sich die genannte Abweichung darstellen lassen durch Ausdrücke von der Form

$\phi =A\cos {\frac {2\pi }{T}}\left\{t-{\frac {a_{x}x+a_{y}y+a_{z}z}{V}}+p\right\}.$ (45)

Es sind hier $a_{x}$ , $a_{y}$ , $a_{z}$ die Richtungsconstanten der Wellennormale, während V die Fortpflanzungsgeschwindigkeit bedeutet.
Will man nun wissen, mit welcher Frequenz $\phi$ in einem ruhenden Punkte das Zeichen wechselt, so hat man die Coordinaten $\mathbf {x}$ , $\mathbf {y}$ , $\mathbf {z}$ in Bezug auf ruhende Axen einzuführen. Durch Anwendung der Beziehungen (44) verwandelt sich (45) in
$\phi =A\cos {\frac {2\pi }{T}}\left\{t+{\frac {{\mathfrak {p}}_{n}}{V}}t-{\frac {a_{x}\mathbf {x} +a_{y}\mathbf {y} +a_{z}\mathbf {z} }{V}}+p\right\}{,}$
wo
${\mathfrak {p}}_{n}=a_{x}{\mathfrak {p}}_{x}+a_{y}{\mathfrak {p}}_{y}+a_{z}{\mathfrak {p}}_{z}$
die Componente von ${\mathfrak {p}}$ nach der Wellennormale ist.
Für die beobachtete Schwingungsdauer ergibt sich jetzt
$T'={\frac {T}{1+{\frac {p_{n}}{V}}}}=T\left(1-{\frac {{\mathfrak {p}}_{n}}{V}}\right).$
Was wir oben ohne Beweis hingestellt haben, dass nämlich in dem Medium überall die Periode $T$ bestehe, ist nichts Anderes, als was Petzval, in seinen Angriffen gegen die Doppler’sche Theorie, das Gesetz von der Unveränderlichkeit der Schwingungsdauer nannte (Wiener Sitz.-Ber., Bd. 8, p. 134, 1852). Nur vergass derselbe zu bemerken, dass dies Gesetz nur dann Geltung habe, wenn man die Erscheinungen als abhängig von $t$ und den relativen Coordinaten betrachtet.
Der Beweis des Satzes ist übrigens leicht zu führen, wenn die Schwingungen unendlich klein sind, und man es also mit homogenen, linearen Differentialgleichungen zu thun hat.
Was die akustischen Erscheinungen betrifft, so wurde das Problem ausführlich behandelt von Was (Het beginsel van Doppler in de geluidsleer, Leiden, Engels, 1881).

[1]