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	Max Planck: Die Kaufmannschen Messungen der Ablenkbarkeit der β-Strahlen in ihrer Bedeutung für die Dynamik der Elektronen

Durch diese Differentialgleichung und durch die Bedingung, daß für $\varphi =\varphi _{0}\ (x=0)$ und für $\varphi =\varphi _{1}\ (x=x_{1})\ y=0$ ist, wird $y$ als Funktion von $\varphi$ bestimmt.

Zwischen Strahlenquelle und Diaphragma ist wegen (1) und wegen:

$\xi =\varrho \sin \varphi$ ${\mathfrak {E}}_{m}(-\varphi )={\mathfrak {E}}_{m}(+\varphi )$.

Die Kurve verläuft also hier symmetrisch in der Weise, daß:

$y_{-\varphi }=y_{+\varphi }$ und $\left({\frac {dy}{d\varphi }}\right)_{-\varphi }=-\left({\frac {dy}{d\varphi }}\right)_{+\varphi }$.

Die Integration der Differentialgleichung (15) ergibt:

$\left({\frac {dy}{d\varphi }}\right)_{\varphi _{1}}-\left({\frac {dy}{d\varphi }}\right)_{\varphi _{0}}={\frac {\varrho }{q}}\cdot {\frac {1}{\mathfrak {H}}}\int \limits _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\mathfrak {E}}_{m}d\varphi$

oder, da $\varphi _{0}=-\varphi _{1}$:

$\left({\frac {dy}{d\varphi }}\right)_{\varphi _{1}}={\frac {\varrho }{q{\mathfrak {H}}}}\int \limits _{0}^{\varphi _{1}}{\mathfrak {E}}_{m}d\varphi$.

Zwischen Diaphragma und Platte ist ${\mathfrak {E}}_{m}=0$, also:

${\frac {dy}{d\varphi }}=const=\left({\frac {dy}{d\varphi }}\right)_{1}$,

und, durch abermalige Integration dieser letzten Gleichung:

${\bar {y}}=\left({\frac {dy}{d\varphi }}\right)_{1}\cdot (\varphi _{2}-\varphi _{1})={\frac {\varrho (\varphi _{2}-\varphi _{1})}{q{\mathfrak {H}}}}\int \limits _{0}^{\varphi _{1}}{\mathfrak {E}}_{m}d\varphi$.

(16)

Das hier vorkommende Integral ergibt sich, wenn man bedenkt, daß nach (2) für:

${\begin{aligned}0<\varphi <\varphi '&\qquad {\mathfrak {E}}_{1}=1\\\varphi '<\varphi <\varphi _{1}&\qquad {\mathfrak {E}}_{1}=\varkappa -\lambda \varrho \sin \varphi \end{aligned}}$,

wobei

$\varrho \sin \varphi '=\xi '=0{,}593$.

(17)

Dann folgt:

$\int \limits _{0}^{\varphi _{1}}{\mathfrak {E}}_{1}d\varphi =\varphi '+\varkappa (\varphi _{1}-\varphi ')-\lambda \varrho (\cos \varphi '-\cos \varphi _{1})$

und mit Einführung von ${\mathfrak {E}}_{m}$ aus (3):

${\bar {y}}={\frac {25\cdot 10^{10}}{0{,}1242}}\cdot {\frac {\varrho (\varphi _{2}-\varphi _{1})}{q{\mathfrak {H}}}}\cdot \{\varphi '+\varkappa (\varphi _{1}-\varphi ')-\lambda \varrho (\cos \varphi '-\cos \varphi _{1})\}$.

(18)

§ 5. Verschiedene Theorien.

Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Ablenkung ${\bar {y}}$ und der magnetischen Ablenkung ${\bar {z}}$ wird bedingt durch die Abhängigkeit der Impulsgröße $p$ von der Geschwindigkeit $q$, und diese ist gegeben durch den Ausdruck des kinetischen Potentials $H$ als Funktion von $q$, welcher für die einzelnen Theorien verschieden lautet. Ich habe die Rechnungen nur für diejenigen beiden Theorien durchgeführt, welche bis jetzt die meiste Ausbildung erfahren haben: die Abrahamsche^[1], wonach das Elektron die Form einer starren Kugel hat, und die Lorentz-Einsteinsche^[2], wonach das „Prinzip der Relativität“ genaue Gültigkeit besitzt. Zur Abkürzung werde ich im folgenden die erste Theorie als „Kugeltheorie“, die zweite als „Relativtheorie“ bezeichnen. Dann ist nach der Kugeltheorie, einerlei ob Volumenladung oder Flächenladung angenommen wird, da es sich hier nur um quasistationäre Bewegungen handelt, das kinetische Potential:

$H=-{\tfrac {3}{4}}\mu _{0}c^{2}\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{2qc}}\log {\frac {c+q}{c-q}}-1\right)$

(19)

($\mu _{0}$ die Masse des Elektrons für $q=0$). Folglich:

$p={\frac {\partial H}{\partial q}}={\tfrac {3}{4}}{\frac {\mu _{0}c^{2}}{q}}\left({\frac {c^{2}+q^{2}}{2qc}}\log {\frac {c+q}{c-q}}-1\right)$.

(20)

Dagegen nach der Relativtheorie^[3]:

$H=-\mu _{0}c^{2}\left({\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}-1\right)$.

(21)

Folglich:

$p={\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\mu _{0}qc}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$.

(22)

Führt man mit Herrn Kaufmann die beiden Größen $\beta$ und $u$ ein:

$\beta ={\frac {q}{c}}$,   und   $u={\frac {\mu _{0}c}{p}}$,

(23)

so ergibt sich nach der Kugeltheorie:

${\frac {1}{u}}={\frac {3}{4\beta }}\left({\frac {1+\beta ^{2}}{2\beta }}\log {\frac {1+\beta }{1-\beta }}-1\right)$

(24)

und nach der Relativtheorie:

${\frac {1}{u}}={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$.

(25)

Mit Einführung von $u$ statt $p$ geht die Gleichung (14) für die magnetische Ablenkung über in:

$u={\frac {\mu _{0}}{\varepsilon }}\cdot {\frac {2c\ \sin \varphi _{1}}{x_{1}{\mathfrak {H}}}}$.

(26)

§ 6. Zahlenwerte.

Die Vergleichung der beobachteten mit den theoretischen Werten habe ich in der Weise ausgeführt, daß für jede gemessene magnetische Ablenkung ${\bar {z}}$ nach jeder der beiden Theorien der entsprechende Wert der elektrischen Ablenkung ${\bar {y}}$ berechnet und mit dem beobachteten Werte verglichen ist. Dementsprechend enthält die folgende Tabelle in der ersten Spalte

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1. M. Abraham, Ann. d. Phys. (4) 10, 105, 1903.
2. H. A. Lorentz, Versl. Kon. Akad. v. Wet. Amsterdam 1904, S. 809. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4) 17, 891, 1905. Vgl. auch H. Poincaré, C. R. 140, 1504, 1905.
3. z. B. M. Planck, Verh. D. Phys. Ges. 8, 140, 1906.

Empfohlene Zitierweise:
Max Planck: Die Kaufmannschen Messungen der Ablenkbarkeit der β-Strahlen in ihrer Bedeutung für die Dynamik der Elektronen. S. Hirzel, Leipzig 1906, Seite 756. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Die_Kaufmannschen_Messungen.djvu/4&oldid=- (Version vom 29.12.2019)