Seite:Die Kaufmannschen Messungen.djvu/3

	Max Planck: Die Kaufmannschen Messungen der Ablenkbarkeit der β-Strahlen in ihrer Bedeutung für die Dynamik der Elektronen

$\left.{\begin{aligned}{\text{für}}\;&0<\xi <\xi '&{\text{ist}}\quad &{\mathfrak {E}}_{1}=1\\{\text{für}}\;&\xi '<\xi <{\frac {x_{1}}{2}}&{\text{ist}}\quad &{\mathfrak {E}}_{1}=\varkappa -\lambda \xi \end{aligned}}\right\}$

(2)

Dann ist wegen der Stetigkeit von ${\mathfrak {E}}_{1}$:

$\varkappa -\lambda \xi '=1\quad$ und $\quad \varkappa -\lambda {\frac {x_{1}}{2}}=0$.

Den Wert der Konstanten $\xi '$ habe ich so groß angenommen, daß der Wert des „elektrischen Feldintegrals“ der nämliche ist wie bei Herrn Kaufmann. Derselbe beträgt^[1]:

$(x_{2}-x_{1})\cdot \left\{\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathfrak {E}}_{1}dx-{\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}dx\int \limits _{x_{0}}^{x}{\mathfrak {E}}_{1}dx\right\}=1{,}565$.

Setzt man hierin die obigen Werte ein, so folgt:

${\tfrac {1}{2}}(x_{2}-x_{1})\cdot \left({\frac {x_{1}}{2}}+\xi '\right)=1{,}565$

und daraus:

$\xi '=0{,}593\qquad \varkappa =2{,}468\qquad \lambda =2{,}475.$

Zur Reduktion der elektrischen Feldstärke auf absolutes elektrostatisches Maß: ${\mathfrak {E}}$, oder auf absolutes elektromagnetisches Maß: ${\mathfrak {E}}_{m}$, hat man^[2]:

${\mathfrak {E}}_{m}={\mathfrak {E}}_{1}\cdot {\frac {25\cdot 10^{10}}{0{,}1242}}={\mathfrak {E}}\cdot 3\cdot 10^{10}$.

(3)

Daß die gemachten vereinfachenden Annahmen in bezug auf das elektrische und magnetische Feld für die hier in Betracht kommenden Rechnungen wirklich ausreichend sind, wird sich weiter unten ergeben.

§ 3. Magnetische Ablenkung.

Führt man in die Bewegungsgleichungen (§ 1) den Impulsvektor (Bewegungsgröße)

${\frac {\partial H}{\partial q}}=p$

(4)

und außerdem das elektromagnetische Maß für die elektrische Feldstärke $({\mathfrak {E}}_{m})$ und für das elektrische Elementarquantum $(\varepsilon )$ ein, so lauten dieselben:

${\frac {d}{dt}}\left(p{\frac {\dot {x}}{q}}\right)=-\varepsilon {\dot {z}}{\mathfrak {H}}$

(5)

${\frac {d}{dt}}\left(p{\frac {\dot {y}}{q}}\right)=\varepsilon {\mathfrak {E}}_{m}$

(6)

${\frac {d}{dt}}\left(p{\frac {\dot {z}}{q}}\right)=\varepsilon {\dot {x}}{\mathfrak {H}}$.

(7)

Da ${\mathfrak {H}}$ konstant ist, so lassen sich (5) und (7) nach der Zeit $t$ integrieren. Dividiert man die beiden so erhaltenen Gleichungen, so ist $t$, $p$ und $q$ ganz eliminiert, und eine zweite Integration liefert die Gleichung der Bahnprojektion auf die $xz$-Ebene, eines Kreises, der durch die Punkte $x=0$, $z=0$, $x=x_{1}$, $z=0$ und $x=x_{2}$, $z={\bar {z}}$ hindurchgeht und durch sie bestimmt ist. Die laufenden Koordinaten $x$, $z$ der Punkte dieses Kreises lassen sich darstellen als Funktionen eines einzigen variablen Parameters: des Winkels $\varphi$, welchen die in der Richtung der Bewegung genommene Tangente des Kreises mit der $x$-Achse bildet, positiv, wenn die Bewegung nach der Seite der positiven $z$-Achse zu erfolgt:

$x=\varrho \sin \varphi +{\frac {x_{1}}{2}},\qquad z=-\varrho \cos \varphi +{\frac {x_{1}}{2}}\operatorname {ctg} \varphi _{1}$.

(8)

Hierbei ist

$\varrho ={\frac {x_{1}}{2\sin \varphi _{1}}}$

(9)

der Radius des Kreises und $\varphi _{1}$ der Wert von $\varphi$ für $x=x_{1}$. In diesen Gleichungen ist schon ausgedrückt, daß für $x=0$ und für $x=x_{1}$, $z=0$. Berücksichtigt man noch, daß für $x=x_{2}$, $z={\bar {z}}$, so ergeben sich daraus die Werte:

$\operatorname {tg} \varphi _{1}={\frac {x_{1}{\bar {z}}}{(x_{2}-x_{1})x_{2}+{\bar {z}}^{2}}}$

(10)

und

$\sin \varphi _{2}={\frac {2x_{2}-x_{1}}{x_{1}}}\sin \varphi _{1}$

(11)

und ebenso $\varrho$ aus (9).

Durch Einsetzen von (8) in (5) oder in (7) erhält man:

${\frac {p}{q}}\cdot {\dot {\varphi }}=\varepsilon {\mathfrak {H}}$.

(12)

Nun ist:

$q^{2}=\varrho ^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {y}}^{2}$,

wofür man mit genügender Annäherung setzen kann^[3]:

$q=\varrho {\dot {\varphi }}$.

(13)

Folglich:

$p=\varepsilon {\mathfrak {H}}\varrho =\varepsilon {\mathfrak {H}}{\frac {x_{1}}{2\sin \varphi _{1}}}$.

(14)

Die Impulsgröße $p$ eines jeden Elektrons ist also unabhängig von der Zeit und läßt sich, ohne auf eine spezielle Theorie einzugehen, aus der magnetischen Ablenkung ${\bar {z}}$ berechnen.

Da $p$ unabhängig von der Zeit $t$ ist, so folgt das nämliche für die Geschwindigkeit $q$ und nach (12) für die Winkelgeschwindigkeit ${\dot {\varphi }}$. Der Winkel $\varphi$ ist also linear von der Zeit $t$ abhängig.

§ 4. Elektrische Ablenkung.

Aus (6) folgt zunächst:

${\frac {p}{q}}{\frac {d^{2}y}{d\varphi ^{2}}}\cdot {\dot {\varphi }}^{2}=\varepsilon {\mathfrak {E}}_{m}$

und daraus nach (12) und (13)

${\frac {d^{2}y}{d\varphi ^{2}}}={\frac {\varrho }{q}}{\frac {{\mathfrak {E}}_{m}}{\mathfrak {H}}}$.

(15)

---

1. l. c. S. 526 und S. 547.
2. l. c. S. 547.
3. l. c. S. 527.

Empfohlene Zitierweise:
Max Planck: Die Kaufmannschen Messungen der Ablenkbarkeit der β-Strahlen in ihrer Bedeutung für die Dynamik der Elektronen. S. Hirzel, Leipzig 1906, Seite 755. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Die_Kaufmannschen_Messungen.djvu/3&oldid=- (Version vom 29.12.2019)