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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.2

sämtlich durch die ganze Zahl $\omega$ teilbar sind, so ist auch jede der Zahlen $\alpha _{1}\beta _{1}$, $\alpha _{1}\beta _{2}$, …, $\alpha _{2}\beta _{1}$, $\alpha _{2}\beta _{2}$, … durch $\omega$ teilbar [Kronecker (19^[1]), Dedekind (7^[2]), Mertens (1^[3]), Hurwitz (1^[4], 2^[5])].

Aus diesem Hilfssatze ergeben sich leicht der Reihe nach die Sätze [Hurwitz (1^[4])]:

Satz 8. Zu jedem vorgelegten Ideale ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ läßt sich stets ein Ideal ${\mathfrak {b}}$ so finden, daß das Produkt ${\mathfrak {ab}}$ ein Hauptideal wird.

Beweis: Setzt man

$F(x)=\alpha _{1}x^{r}+\alpha _{2}x^{r-1}+\cdots$

und

$F^{(i)}(x)=\alpha _{1}^{(i)}x^{r}+\alpha _{2}^{(i)}x^{r-1}+\cdots$     $(i=1,\,\ldots ,\,m-1)$,

wo $\alpha _{k}^{(i)}$ die zu $\alpha _{k}$ konjugierten Zahlen sind und bildet

$R=\prod \limits _{i=1}^{m-1}F^{(i)}(x)=\beta _{1}+\beta _{2}x+\cdots$,

wo $\beta _{1}$, $\beta _{2}$, … ganze Zahlen des Körpers $k$ sind, so ist $FR=nU$, wo $n$ eine ganze rationale Zahl und $U$ eine ganzzahlige Funktion bedeutet, deren Koeffizienten keinen gemeinsamen Teiler haben. Hieraus folgt, daß $n\equiv 0$ nach dem Produkt der beiden Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\beta _{s})$ ist. Der Hilfssatz 2 lehrt ferner, daß auch umgekehrt jede Zahl $\alpha _{i}\beta _{h}$ sich durch $n$ teilen läßt. Es ist daher ${\mathfrak {ab}}=n$.

Satz 9. Wenn die drei Ideale ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$, ${\mathfrak {c}}$ der Gleichung ${\mathfrak {ac=bc}}$ genügen, wobei ${\mathfrak {c}}\neq 0$, so ist ${\mathfrak {a=b}}$.

Beweis: Es sei ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal von der Art, daß ${\mathfrak {cm}}$ ein Hauptideal ($\alpha$) wird. Aus der Voraussetzung folgt ${\mathfrak {acm=bcm}}$ oder $\alpha {\mathfrak {a}}=\alpha {\mathfrak {b}}$ und mithin ${\mathfrak {a=b}}$.

Satz 10. Wenn alle Zahlen eines Ideals ${\mathfrak {c}}\equiv 0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {a}}$ sind, so ist ${\mathfrak {c}}$ durch ${\mathfrak {a}}$ teilbar.

Beweis: Ist ${\mathfrak {am}}$ gleich dem Hauptideal ($\alpha$), so sind alle Zahlen des Ideals ${\mathfrak {mc}}$ durch $\alpha$ teilbar, und mithin gibt es ein Ideal ${\mathfrak {b}}$ derart, daß ${\mathfrak {mc}}=\alpha {\mathfrak {b}}$ wird. Folglich ist ${\mathfrak {amc}}=\alpha {\mathfrak {ab}}$, d. h. $\alpha {\mathfrak {c}}=\alpha {\mathfrak {ab}}$, und folglich ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {ab}}$.

Satz 11. Wenn das Produkt zweier Ideale ${\mathfrak {ab}}$ durch das Primideal ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist, so ist wenigstens eines der Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar.

Beweis: Wäre ${\mathfrak {a}}$ nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, so würde das Ideal (${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {p}}$) ein von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes und zugleich in ${\mathfrak {p}}$ aufgehendes Ideal, d. h. $=1$ sein; demnach wäre $1=\alpha +\pi$, wo $\alpha$ eine Zahl in ${\mathfrak {a}}$ und $\pi$ eine Zahl in ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, und hieraus ergibt sich durch Multiplikation mit einer beliebigen Zahl $\beta$ in ${\mathfrak {b}}$ die Beziehung $\beta =\alpha \beta +\pi \beta \equiv \alpha \beta$ nach ${\mathfrak {p}}$. Zufolge der Voraussetzung ist $\alpha \beta \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ und folglich auch $\beta \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$.

Nunmehr beweist man den Fundamentalsatz 7 der Idealtheorie, wie folgt:

Ist ${\mathfrak {j}}$ nicht selbst ein Primideal, so sei ${\mathfrak {j=ab}}$, wo ${\mathfrak {a}}$ einen von ${\mathfrak {j}}$ und $1$ verschiedenen Teiler von ${\mathfrak {j}}$ bedeutet. Ist nun einer der Faktoren ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ nicht ein Primideal,

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1. Zur Theorie der Formen höherer Stufen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1883.^{[WS 1]}
2. Über einen arithmetischen Satz von Gauss. Mitt. dtsch. math. Ges. Prag 1892^{[WS 2]} und: Über die Begründung der Idealtheorie. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 3]}
3. Über einen algebraischen Satz. Ber. K. Akad. Wiss. Wien 1892.^{[WS 4]}
4. Über die Theorie der Ideale. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.^{[WS 5]}
5. Über einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 6]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Zur Theorie der Formen höherer Stufen, in: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin der Wissenschaften zu Berlin, 1883, Bd. 2, S. 957–960 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Dedekind, Richard: Über einen arithmetischen Satz von Gauß, in: Mittheilungen der Deutschen Mathematischen Gesellschaft in Prag, 1892, S. 1–11 GDZ Göttingen
3. Dedekind, Richard: Ueber die Begründung der Idealtheorie, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 106–113 GDZ Göttingen
4. Mertens, Franz: Über einen algebraischen Satz, in: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien – mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, Bd. 101 (1892), S. 1560-1566 landesmuseum.at und Bd. 106,2 (1897) S. 422–430 landesmuseum.at
5. Hurwitz, Adolf: Ueber die Theorie der Ideale, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1894, S. 291–298 GDZ Göttingen
6. Hurwitz, Adolf: Ueber einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der allgebraischen Grössen, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 230–240 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 76. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/93&oldid=- (Version vom 21.1.2022)