Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/91

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.2

$J_{s}$, $J_{s}^{(1)}$, … ist. Dann folgt, wie auf S. 72, daß die $m$ Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ die verlangte Beschaffenheit haben.

Die Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ heißen eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$. Jede andere Basis $\iota _{1}^{*}$, …, $\iota _{m}^{*}$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist durch Formeln von der Gestalt

${\begin{aligned}\iota _{1}^{*}&=a_{11}\iota _{1}+\cdots +a_{1m}\iota _{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\\iota _{m}^{*}&=a_{m1}\iota _{1}+\cdots +a_{mm}\iota _{m}\end{aligned}}$

gegeben, wo die Determinante der ganzzahligen Koeffizienten $a$ gleich $\pm 1$ ist.

Sind $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ irgend $r$ solche Zahlen des Ideals ${\mathfrak {a}}$, durch deren lineare Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer Koeffizienten $\lambda$ des Körpers alle Zahlen des Ideals erhalten werden können, so schreibe ich kurz

${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$.

Wenn ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ und ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})$ zwei Ideale sind, so werde dasjenige Ideal, welches entsteht, wenn man alle Zahlen $\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r}$ und $\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s}$ zusammen nimmt, kurz mit $({\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}})$ bezeichnet, d. h. ich schreibe

$({\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}})=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r}),\,\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s}$.

Ein Ideal, welches alle und nur die Zahlen von der Gestalt $\lambda \alpha$ enthält, wo $\lambda$ jede beliebige ganze Zahl des Körpers darstellt und $\alpha \neq 0$ eine bestimmte ganze Zahl des Körpers bedeutet, heißt ein Hauptideal und wird mit $(\alpha )$ oder auch kurz mit $\alpha$ bezeichnet, falls eine Verwechselung mit der Zahl $\alpha$ ausgeschlossen erscheint.

Eine jede Zahl $\alpha$ des Ideals ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ heißt kongruent $0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {a}}$ oder in Zeichen:

$\alpha \equiv 0,\quad ({\mathfrak {a}})$.

Wenn die Differenz zweier Zahlen $\alpha$ und $\beta$ kongruent $0$ nach ${\mathfrak {a}}$ ist, so heißen $\alpha$ und $\beta$ einander kongruent nach ${\mathfrak {a}}$ oder in Zeichen

$\alpha \equiv \beta ,\quad ({\mathfrak {a}})$;

sonst heißen sie einander inkongruent oder in Zeichen

$\alpha \not \equiv \beta ,\quad ({\mathfrak {a}})$.

Wenn man jede Zahl eines Ideals ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ mit jeder Zahl eines zweiten Ideals ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})$ multipliziert und die so erhaltenen Zahlen linear mittels beliebiger ganzer algebraischer Koeffizienten des Körpers kombiniert, so wird das so entstehende neue Ideal das Produkt der beiden Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ genannt, d. h. in Zeichen

${\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}}=(\alpha _{1}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{1}\beta _{s},\,\ldots ,\,\alpha _{r}\beta _{s})$.

Ein Ideal ${\mathfrak {c}}$ heißt durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ teilbar, wenn ein Ideal ${\mathfrak {b}}$ existiert derart, daß ${\mathfrak {c=ab}}$ ist. Ist ein Ideal ${\mathfrak {c}}$ durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ teilbar, so sind alle Zahlen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 74. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/91&oldid=- (Version vom 31.7.2018)