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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.1

wo $c_{1}$, $c_{2}$, …, $c_{m}$ rationale Zahlen sind, so heißen die Zahlen

${\begin{alignedat}{2}\alpha '&=c_{1}+c_{2}\vartheta '&+\cdots +&c_{m}\vartheta ^{\prime m-1},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots &&\\\alpha ^{(m-1)}&=c_{1}+c_{2}\vartheta ^{(m-1)}&+\cdots +&c_{m}(\vartheta ^{m-1})^{m-1}\end{alignedat}}$

die bez. durch die Substitutionen $t'=(\vartheta :\vartheta ')$, …, $t^{(m-1)}=(\vartheta :\vartheta ^{(m-1)})$ aus $\alpha$ entspringenden oder zu $\alpha$ konjugierten Zahlen.

§ 2. Die ganze algebraische Zahl.

Eine algebraische Zahl $\alpha$ heißt eine ganze algebraische Zahl oder kurz eine ganze Zahl, wenn sie einer Gleichung von der Gestalt

$\alpha ^{m}+a_{1}\alpha ^{m-1}+a_{2}\alpha ^{m-2}+\cdots +a_{m}=0$

genügt, deren Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{m}$ sämtlich ganze rationale Zahlen sind.

Satz 2. Jede ganze ganzzahlige Funktion $F$, d. h. jede ganze rationale Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten von beliebig vielen ganzen Zahlen $\alpha$, $\beta$, …, $\varkappa$ ist wiederum eine ganze Zahl.

Beweis: Bezeichnen wir mit $\alpha '$, $\alpha ''$, …, $\beta '$, $\beta ''$, …, …, $\varkappa '$, $\varkappa ''$, … bezüglich die zu $\alpha$, $\beta$, …, $\varkappa$ konjugierten Zahlen, und bilden wir dann sämtliche Ausdrücke von der Gestalt

${\begin{aligned}F(\alpha ,\,\beta ,\,\ldots ,\,\varkappa ),\quad F(\alpha ',\,\beta ,\,\ldots ,\,\varkappa ),\quad F(\alpha ,\,\beta ',\,\ldots ,\,\varkappa ),\,\ldots ,\\\ldots ,\,F(\alpha ,\,\beta ,\,\ldots ,\,\varkappa '),\,\ldots ,\,F(\alpha ',\,\beta ',\,\ldots ,\,\varkappa ),\,\ldots ,\end{aligned}}$

so lehrt der bekannte Satz von den symmetrischen Funktionen, daß die Gleichung, welcher diese sämtlichen Ausdrücke genügen, lauter ganzzahlige Koeffizienten hat, während der Koeffizient der höchsten Potenz der Unbekannten $=1$ ausfällt.

Insbesondere ist die Summe, die Differenz und das Produkt zweier ganzen Zahlen wiederum eine ganze Zahl. Der Begriff „ganz“ verhält sich mithin gegenüber den drei Rechnungsoperationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation invariant. Eine ganze Zahl $\gamma$ heißt durch die ganze Zahl $\alpha$ teilbar, wenn eine ganze Zahl $\beta$ existiert, so daß $\gamma =\alpha \beta$ ist.

Satz 3. Die Wurzeln einer Gleichung beliebigen Grades $r$ von der Gestalt

$\alpha ^{r}+a_{1}\alpha ^{r-1}+a_{2}\alpha ^{r-2}+\cdots +a_{r}=0$

sind stets ganze algebraische Zahlen, sobald die Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{r}$ ganze algebraische Zahlen sind.

Satz 4. Wenn eine ganze algebraische Zahl $\alpha$ zugleich rational ist, so ist sie eine ganze rationale Zahl.

Beweis: Wäre nämlich $\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}$, wo $a$ und $b$ ganze rationale, zueinander prime Zahlen bedeuten und dabei $b>1$, und genügt $\alpha$ einer Gleichung, deren

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 70. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/87&oldid=- (Version vom 31.7.2018)