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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Satz 12a Wenn ein relativquadratischer Körper die Relativdiskriminante $1$ in bezug auf $k$ besitzt, so stimmt derselbe mit $UKk$ überein. Wenn ein relativ-Abelscher Körper vom Relativgrade 4 in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$ besitzt, so stimmt er mit $Kk$ überein.

Satz 12b Wenn ein relativquadratischer Körper in bezug auf $k$ eine Klassenanzahl besitzt, die das Doppelte einer ungeraden Zahl ist, so stimmt dieser Körper mit $UKk$ überein.

Satz 12c Wenn ein relativ-Abelscher Körper vom Relativgrade 4 in bezug auf $k$ eine ungerade Klassenanzahl besitzt, so stimmt er mit $Kk$ überein.

Im Falle B. ist der Klassenkörper $Kk$ des Körpers $k$ relativ-Abelsch vom Relativgrade 4 und weist folgende fundamentale Eigenschaften auf:

Satz 13a Der Klassenkörper $Kk$ hat in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$.

Satz 13b^[1] Die Klassenanzahl des Körpers $Kk$ ist ungerade. Der Klassenkörper $Kk$ besitzt drei relativquadratische Unterkörper $UKk_{1},UKk_{2},UKk_{3}$ in bezug auf $k$. Die Klassenanzahl eines jeden dieser drei Unterkörper ist gleich dem Doppelten einer ungeraden Zahl.

Satz 13c^[1] Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale sind, d. h. der Klasse 1 angehören, zerfallen in $Kk$ in das Produkt von vier Primidealen. Diejenigen Primideale in $k$, welche der Klasse $C_{1}$, angehören, zerfallen in einem jener drei Unterkörper, etwa in $UKk_{1}$ in das Produkt von zwei Primidealen und sind in jedem der beiden anderen Unterkörper, also in $UKk_{2},UKk_{3}$ unzerlegbar. Diejenigen Primideale in $k$, welche der Klasse $C_{2}$ bez. $C_{3}$ angehören, zerfallen etwa in $UKk_{2}$ bez. $UKk_{3}$ in das Produkt von zwei Primidealen und sind in $UKk_{1},UKk_{3}$ bez. in $UKk_{1},UKk_{2}$ unzerlegbar. Sämtliche Ideale des Körpers $k$ werden in jedem der drei relativquadratischen Körper $UKk_{1},UKk_{2},UKk_{3}$ Hauptideale.

Von diesen Eigenschaften charakterisiert^[1] wiederum jede für sich vollständig den Klassenkörper $Kk$ und die drei Unterkörper $UKk_{1},UKk_{2},UKk_{3}$.

Die eben aufgestellten Sätze 11a, 11b, 11c, 12a, 12b, 12c, 13a, 13b, 13c bestätigen, wie wir leicht erkennen, unter der gegenwärtigen Annahme $h={\overline {h}}=4$ sowohl im Falle A. wie im Falle B. die Gültigkeit der weiter unten in § 16 aufgestellten allgemeinen Sätze 14 und 15.

Zum Beweise der Sätze 11, 12, 13 ist vor allem nötig, zu zeigen, daß für den Grundkörper $k$ bei der gemachten Annahme stets wenigstens ein relativquadratischer Körper mit der Relativdiskriminante $1$ existiert. Sodann hat man in bezug auf diesen noch einen weiteren relativquadratischen Körper mit der

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1. Die beiden Vermutungen von Satz 13b und der letzte Satz von 13c wurden durch die weitere Entwicklung der Theorie nicht allgemein bestätigt. Der letzte Satz von 13c gilt immer dann, wenn 13b eintrifft. [Anm. d. Herausgeber.]

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 506. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/523&oldid=- (Version vom 31.7.2018)