Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/522

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

von ${\mathfrak {J}}$ dem Ideal ${\mathfrak {r}}^{u}$ äquivalent wird: es sei etwa

$N\left({\mathfrak {J}}\right){\mathfrak {r}}^{u}=(\iota )$,

wo $\iota$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Endlich bilden wir das Charakterensystem für die Zahl $\iota$ und fügen diesem noch die Einheit $(-1)^{u}$ hinzu. Das so erhaltene System von Einheiten $\pm 1$ heiße das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Alle Ideale, die dasselbe Charakterensystem besitzen, bilden ein Geschlecht. Es gilt wiederum der Fundamentalsatz, daß stets genau die Hälfte aller möglichen Charakterensysteme wirklich durch Geschlechter in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vertreten sind.

Wenn für einen Körper $k$ der Wert der Klassenanzahl $h$ im ursprünglichen Sinne und der Klassenanzahl ${\overline {h}}$ im engeren Sinne zusammenfallen und nicht gleich $2$, sondern das Doppelte irgendeiner ungeraden Zahl sind, so bedürfen die in § 8 bis § 13 ausgesprochenen Sätze nur einer geringen und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmenden Abänderung.

§ 14.

Es möge endlich kurz die Annahme behandelt werden, daß der Grundkörper $k$ die Klassenanzahl $h={\overline {h}}=4$ besitzt; wir haben dann zwei Fälle zu unterscheiden:

A. Es gibt eine Klasse $C$ in $k$ derart, daß $C,C^{2},C^{3},C^{4}=1$ die 4 Klassen des Körpers $k$ darstellen.

B. Es gibt zwei Klassen $C_{1},C_{2}$ in $k$ derart, daß $C_{1},C_{2},C_{1}C_{2}=C_{3},C_{1}^{2}=C_{2}^{2}=1$ die 4 Klassen des Körpers $k$ darstellen.

Im Falle A. ist der Klassenkörper $Kk$ des Körpers $k$ relativzyklisch vom Relativgrade 4 in bezug auf $k$ und weist folgende fundamentale Eigenschaften auf:

Satz 11a. Der Klassenkörper $Kk$ hat in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$.

Satz 11b. Die Klassenzahl $H,{\overline {H}}$ des Klassenkörpers $Kk$ im ursprünglichen bez. im engeren Sinne ist eine ungerade Zahl. Der Klassenkörper $Kk$ besitzt einen und nur einen relativquadratischen Unterkörper $UKk$. Die Klassenanzahl von $UKk$ ist das Doppelte einer ungeraden Zahl.

Satz 11c. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale sind, d. h. der Klasse 1 angehören, zerfallen in $Kk$ in das Produkt von 4 Primidealen. Diejenigen Primideale in $k$, welche der Klasse $C^{2}$ angehören, zerfallen in $UKk$ in das Produkt zweier solcher Primideale, die im Körper $Kk$ unzerlegbar bleiben. Diejenigen Primideale in $k$, Welche der Klasse $C$ oder $C^{3}$ angehören, bleiben in $Kk$ unzerlegbar; sämtliche Ideale in $k$ werden in $Kk$ Hauptideale.

Von diesen 3 Eigenschaften 11a, 11b, 11c charakterisiert jede für sich allein bei unserer Annahme über den Körper $k$ in eindeutiger Weise den Klassenkörper $Kk$; wir haben somit insbesondere folgende Sätze:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 505. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/522&oldid=- (Version vom 31.7.2018)