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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

diese Annahme ist somit als unzutreffend erkannt, d. h. jedes Primideal des Körpers $k$, welches der Hauptklasse in $k$ angehört, zerfällt in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ in das Produkt zweier Primideale, wie Satz 9c in seinem ersten Teile aussagt.

§ 13.

Wir erörtern jetzt die Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste im Körper $k$ unter den besonderen Annahmen $h={\overline {h}}=2$, wie sie in § 8 über den Körper $k$ gemacht worden sind. Der erste Ergänzungssatz läßt sich wieder genau wie früher in der Form des Satzes 1 aussprechen, sobald wir dem Begriff „primäres Ideal“ die folgende engere Fassung geben: wir nennen in dem zugrunde gelegten Körper $k$ ein zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ dann primär wenn für dasselbe

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt — nicht nur für alle Einheiten $\xi$, sondern auch für diejenigen ganzen Zahlen $\xi$ in $k$, die Quadrate von Idealen sind, d. h. wenn

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\dots ,\left({\frac {\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,$

wird. Indem wir in entsprechender Weise den Begriff eines hyperprimären Ideals in dem zugrunde liegenden Körper $k$ enger fassen, gilt auch der zweite Ergänzungssatz in der früher aufgestellten Form des Satzes 2 und ebenso auch das allgemeine Reziprozitätsgesetz in der Fassung des Satzes 3.

Um den Beweis für diese Reziprozitätsgesetze zu führen, bedenken wir, daß der Klassenkörper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ eine ungerade Klassenanzahl hat. Für einen solchen Körper habe ich das Reziprozitätsgesetz in meiner Abhandlung bereits bewiesen. Aus diesem Reziprozitätsgesetz für den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ gewinnen wir sodann ohne Schwierigkeit; durch ein geeignetes Schlußverfahren die eben genannten Reziprozitätsgesetze für den Körper $k$.

In meiner Abhandlung habe ich unter den in § 3 der vorliegenden Arbeit gemachten Annahmen gezeigt, wie die Idealklassen eines beliebigen in bezug auf $k$ relativquadratischen Körpers in Geschlechter einzuteilen sind. Unter der gegenwärtigen Annahme $h={\overline {h}}=2$, die wir im § 8 für den Körper $k$ gemacht haben, teilen wir die Idealklassen eines beliebigen relativquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in bezug auf $k$ auf folgende Weise in Geschlechter ein. Es sei ${\mathfrak {J}}$ ein beliebiges Ideal des relativquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$. Wir definieren zunächst wie in dem Falle, den meine Abhandlung betrifft, das Charakterensystem einer Zahl des Körpers $k$. Sodann verstehen wir unter ${\mathfrak {r}}$ ein bestimmtes zu $2$ primes Ideal, welches nicht der Hauptklasse in $k$ angehört, und wählen dann den Exponenten $u=0,1$ derart, daß im Körper $k$ das Produkt der Relativnorm

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 504. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/521&oldid=- (Version vom 31.7.2018)