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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

des Körpers $k$, das in $k$ der Hauptklasse angehört, im Klassenkörper $Kk$, der jetzt $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, weiter zerlegbar sein muß. Wir führen diesen Nachweis in folgender Weise:

Nach dem in § 11 Bewiesenen ist die Zahl $\omega$ von der Gestalt (4):

$\omega =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\varepsilon _{2}^{u_{2}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{u_{{\frac {m}{2}}+1}}$,

wo die Exponenten $u_{1},\dots ,u_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Werte $0,1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind: es sei etwa $u_{i}=1$; dann bezeichnen wir die Zahlen $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{i-1},\varepsilon _{i+1},\dots ,\varepsilon _{\frac {m}{2}},\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}$ bez. mit $\varepsilon _{1}^{*},\dots ,\varepsilon _{\frac {m}{2}}^{*}$ und bestimmen ${\frac {m}{2}}$ von ${\mathfrak {r}}$ verschiedene Primideale ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{\frac {m}{2}}$ in $k$ derart, daß

$\left({\frac {\varepsilon _{h}^{*}}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right)=-1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{h}^{*}}{{\mathfrak {p}}_{k}}}\right)=+1,\qquad$

$(h\neq k)$

$\left(h,k=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}\right)$

$\left({\frac {\omega }{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right)=+1,\qquad \left(h=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}\right)$

(23)

wird. Wegen (23) sind nach der zweiten Aussage des Satzes 9c diese Primideale ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{\frac {m}{2}}$ sämtlich Hauptideale in $k$; wir setzen

${\mathfrak {p}}_{1}=(\pi _{1}),\dots ,{\mathfrak {p}}_{\frac {m}{2}}=(\pi _{\frac {m}{2}})$,

wo $\pi _{1},\dots ,\pi _{\frac {m}{2}}$ ganze Zahlen in $k$ bedeuten. Nunmehr wollen wir zeigen, daß ein Ausdruck von der Gestalt

$\omega ^{*}={\varepsilon ^{*}}_{1}^{u_{1}^{*}}\cdots {\varepsilon ^{*}}_{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}^{*}}\pi _{1}^{v_{1}}\cdots \pi _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}},$

(24)

$\left(u_{1}^{*},\dots ,u_{\frac {m}{2}}^{*},v_{1},\dots ,v_{\frac {m}{2}}=0,1\right)$

nur dann eine primäre Zahl in $k$ darstellen kann, wenn die Exponenten $u_{1}^{*},\dots ,u_{\frac {m}{2}}^{*},v_{1},\dots ,v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich den Wert $0$ haben. In der Tat, wäre $\omega ^{*}$ primär und wenigstens einer dieser Exponenten gleich $1$, so beweisen wir wie oben durch Hilfssatz 4, daß alle Primideale in $k$, welche in $K\left({\sqrt {\omega ^{*}}}\right)$ zerlegbar werden, in $k$ Hauptideale sind, d. h. es müßten dann alle Primideale ${\mathfrak {w}}$, nach welchen $\omega ^{*}$ quadratischer Rest ist, Hauptideale in $k$ sein. Die Tatsache, daß zugleich auch alle Primideale ${\mathfrak {w}}$, nach denen $\omega$ quadratischer Rest ist, Hauptideale in $k$ sind, führt uns wie früher in § 11 auf einen Widerspruch.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 501. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/518&oldid=- (Version vom 31.7.2018)