des Körpers
, das in
der Hauptklasse angehört, im Klassenkörper
, der jetzt
ist, weiter zerlegbar sein muß. Wir führen diesen Nachweis in folgender Weise:
Nach dem in § 11 Bewiesenen ist die Zahl
von der Gestalt (4):
,
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wo die Exponenten
gewisse Werte
haben, aber nicht sämtlich gleich
sind: es sei etwa
; dann bezeichnen wir die Zahlen
bez. mit
und bestimmen
von
verschiedene Primideale
in
derart, daß
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(23)
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wird. Wegen (23) sind nach der zweiten Aussage des Satzes 9c diese Primideale
sämtlich Hauptideale in
; wir setzen
,
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wo
ganze Zahlen in
bedeuten. Nunmehr wollen wir zeigen, daß ein Ausdruck von der Gestalt
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(24)
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nur dann eine primäre Zahl in
darstellen kann, wenn die Exponenten
sämtlich den Wert
haben. In der Tat, wäre
primär und wenigstens einer dieser Exponenten gleich
, so beweisen wir wie oben durch Hilfssatz 4, daß alle Primideale in
, welche in
zerlegbar werden, in
Hauptideale sind, d. h. es müßten dann alle Primideale
, nach welchen
quadratischer Rest ist, Hauptideale in
sein. Die Tatsache, daß zugleich auch alle Primideale
, nach denen
quadratischer Rest ist, Hauptideale in
sind, führt uns wie früher in § 11 auf einen Widerspruch.