die Gültigkeit der Hilfssätze 1 bis 4, und entsprechend dem Hilfssatz 4 ist mithin jedes Primideal
des Körpers
, für welches
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ausfällt, stets notwendig ein Hauptideal des Körpers
.
Wir bezeichnen nun kurz mit
alle diejenigen Primideale in
, für welche
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ist, und mit
diejenigen Primideale in
für welche zugleich
und
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ausfällt, ferner mit
diejenigen Primideale des Körpers
, welche Hauptideale in
sind, dagegen mit
diejenigen Primideale des Körpers
, welche nicht Hauptideale in
sind.
Da die Zahlen
sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in
sind und bei unseren Annahmen wegen der Verschiedenheit der Primideale
das Nämliche auch für das Produkt
gilt, so folgen aus Satz 17 meiner Abhandlung die Gleichungen
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(19)
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hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale
bez.
zu erstrecken und
bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen
, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn
sich dem Werte
nähert;
bezeichnet stets die Norm im Körper
.
Die Primideele
sind offenbar sämtlich von den Primidealen
verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale
sämtlich unter den Primidealen
vorkommen, so haben wir
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und folglich wegen (19)
;
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(20)
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hier sind die unendlichen Summen wiederum über alle Primideale mit den betreffenden Eigenschaften zu erstrecken.