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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

die Gültigkeit der Hilfssätze 1 bis 4, und entsprechend dem Hilfssatz 4 ist mithin jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$, für welches

$\left({\frac {\omega '}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

ausfällt, stets notwendig ein Hauptideal des Körpers $k$.

Wir bezeichnen nun kurz mit ${\mathfrak {w}}_{\omega }$ alle diejenigen Primideale in $k$, für welche

$\left({\frac {\omega }{{\mathfrak {w}}_{\omega }}}\right)=+1$

ist, und mit ${\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}$ diejenigen Primideale in $k$ für welche zugleich

$\left({\frac {\omega }{{\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}}}\right)=-1$ und $\left({\frac {\omega '}{{\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}}}\right)=+1$

ausfällt, ferner mit ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ diejenigen Primideale des Körpers $k$, welche Hauptideale in $k$ sind, dagegen mit ${\mathfrak {w}}^{(-)}$ diejenigen Primideale des Körpers $k$, welche nicht Hauptideale in $k$ sind.

Da die Zahlen $\omega ,\omega '$ sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in $k$ sind und bei unseren Annahmen wegen der Verschiedenheit der Primideale ${\mathfrak {q}}_{1},\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1},{{\mathfrak {q}}'}_{1},\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ das Nämliche auch für das Produkt $\omega \omega '$ gilt, so folgen aus Satz 17 meiner Abhandlung die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega })}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega }\right)^{s}}}={\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\omega }(s),\qquad (s>1)\\\sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}\right)^{s}}}={\frac {1}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\omega \omega '}(s);\qquad (s>1)\end{aligned}}\right\}$

(19)

hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale ${\mathfrak {w}}_{\omega }$ bez. ${\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}$ zu erstrecken und $f_{\omega }(s),f_{\omega \omega '}(s)$ bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen $s$, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn ${\displaystyle }$ sich dem Werte $1$ nähert; $n$ bezeichnet stets die Norm im Körper $k$.

Die Primideele ${\mathfrak {w}}_{\omega }$ sind offenbar sämtlich von den Primidealen ${\mathfrak {w_{\omega \omega '}}}$ verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale ${\mathfrak {w}}_{\omega },{\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}$ sämtlich unter den Primidealen ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ vorkommen, so haben wir

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}^{(+)}\right)^{s}}}\geqq \sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega })}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega }\right)^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}\right)^{s}}}$

$(s>1)$

und folglich wegen (19)

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}^{(+)}\right)^{s}}}\geqq {\frac {3}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\omega }(s)+f_{\omega \omega '}(s)$;

(20)

hier sind die unendlichen Summen wiederum über alle Primideale mit den betreffenden Eigenschaften zu erstrecken.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 499. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/516&oldid=- (Version vom 31.7.2018)