Hilfssatz 4 Wenn
ein Primideal des Körpers
bedeutet, für welches
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(17)
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ausfällt, so ist
stets im Körper
ein Hauptideal.
Zum Beweise bedenken wir, daß wegen der Voraussetzung (17) das Primideal
im Körper
zerlegbar sein muß; wir setzen
,
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wo
zueinander relativkonjugierte Ideale in
sind und verstehen dann mit Rücksicht auf Hilfssatz 3 unter
einen solchen ungeraden Potenzexponenten, daß
einem Ideal
in
äquivalent wird. Hieraus folgt offenbar
, d. h. .
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§ 11.
Der gewünschte Nachweis für die Existenz der Klassenkörper mit den Eigenschaften 9a, 9b, 9c gelingt mittelst der folgenden Schlüsse. Wir wählen an Stelle der in § 9 bestimmten den Bedingungen (1) genügenden Primideale
irgend
andere zu
prime Primideale
mit den entsprechenden Eigenschaften
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und wählen wiederum die Exponenten
in geeigneter Weise so, daß
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und darin
ganze Zahlen in
sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen in § 9 bis § 10 für das neue System von Primidealen
wiederholt. Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck
,
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(18)
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in dem
eine gewisse Einheit in
und
gewisse Exponenten
bedeuten; falls wir wie vorhin annehmen, daß die Exponenten
nicht sämtlich gleich
ausfallen, folgern wir wiederum für den Körper