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Kommt andererseits unter den Indizes die Zahl nicht vor, so schließen wir auf die nämliche Weise

und mithin ist die Anzahl der voneinander unabhängigen Einheitenverbände, welche aus den Relativnormen von Einheiten in entspringen, in diesem Falle höchstens gleich .

Wir erkennen leicht, daß im Falle I unter den Indizes die Zahl nicht vorkommen kann. Wäre nämlich im Gegenteil das Primideal in der Relativdiskriminante des Körpers enthalten und bezeichnet die ganze Zahl in , welche das Ideal darstellt, so muß die Relativnorm dieser Zahl gleich einer Zahl in von der Gestalt werden, wo eine Einheit in bezeichnet und die früher festgesetzte Bedeutung hat. Die hieraus folgende Bedingungsgleichung

steht im Widerspruch mit der in (1) getroffenen Festsetzung für das Primideal .

Die bisherigen Überlegungen führen im Falle I zu der Ungleichung

(8)

und im Falle II zu der Ungleichung

(9)

Die Gleichungen (5), (6) und die Ungleichungen (8), (9) zeigen, daß in beiden Fällen I und II die Ungleichung gilt und da gewiß euch sein muß, so folgt notwendig , d. h. es ist im Falle I

. (10)

und im Falle II

. (11)

Nunmehr können wir auch einsehen, daß im Falle II das Primideal in der Relativdiskriminante des Körpers vorkommen muß. Wäre nämlich im Gegenteil die Zahl unter den Indizes nicht enthalten,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 495. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/512&oldid=- (Version vom 31.7.2018)