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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Werte $0$, $1$ und für die Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ irgendwelche der Kongruenzbedingung

$v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}\cdots v_{{\frac {m}{2}}+1}w_{{\frac {m}{2}}+1}\equiv 0,\qquad$

(2) (3)

genügende Werte $0,1$ nimmt, im Ganzen $2^{m+1}$ Zahlen dar. Rechnet man jetzt allgemein zwei ganze zu $2$ prime Zahlen $\omega _{1},\omega _{2}$ in $k$ zu derselben Art, wenn ihr Produkt $\omega _{1}\omega _{2}$ eine primäre Zahl ist, so lehrt die Betrachtung am Schlusse von § 21 meiner Abhandlung, daß es im Körper $k$ genau $2^{m}$ verschiedene Arten von Zahlen gibt und es müssen also unter den Zahlen von der Gestalt (2) notwendig wenigstens zwei Zahlen vorhanden sein, die derselben Art angehören. Das Produkt zweier solcher Zahlen ist eine primäre Zahl von der Gestalt

$\omega =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{u_{{\frac {m}{2}}+1}}\kappa _{1}^{v_{1}}\cdots \kappa _{{\frac {m}{2}}+1}^{v_{{\frac {m}{2}}+1}}\alpha ^{2}$,

(4)

wo die Exponenten $u_{1},\dots ,u_{{\frac {m}{2}}+1},v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet.

Wenn in dem Ausdrucke (4) für die Zahl $\omega$ die Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ sämtlich sich gleich $0$ herausstellten, so wäre nach Satz 4 und 5 meiner Abhandlung der Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ein in bezug auf $k$ unverzweigter relativquadratischer Körper und somit der verlangte Beweis für die Existenz des Klassenkörpers mit der Eigenschaft 9a erbracht.

Wir nehmen nun im Gegenteil an, es habe wenigstens einer der Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ den Wert $1$, und zwar sei $t$ deren genaue Anzahl; es sei etwa $v_{i_{1}}=1,v_{i_{2}}=1,\dots ,v_{i_{t}}=1$, wo die Indizes $i_{1},i_{2},\dots ,i_{t}$, gewisse $t$ Zahlen der Reihe $1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}+1$ bedeuten. Bei dieser Annahme müssen die $t$ Primideale ${\mathfrak {q}}_{i_{1}},{\mathfrak {q}}_{i_{2}},\dots ,{\mathfrak {q}}_{i_{t}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ aufgehen; wegen der Bedingung (3) und da $\omega$ primär ist, folgt ferner, daß es außer diesen $t$ Primidealen kein weiteres gibt, welches in der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ enthalten wäre. Die genannten $t$ Primideale des Körpers $k$ werden bez. die Quadrate gewisser $t$ ambiger Primideale des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$, und die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$, fällt daher genau gleich $2^{t}$ aus. Auch die weiteren Bezeichnungen des Satzes 22 in § 15 meiner Abhandlung benutzen wir: es möge der Körper $k$ genau $2^{v^{*}}$ Einheitenverbände besitzen, die aus Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ entspringen, und es sei $2^{a^{*}}$ die Anzahl der ambigen Klassen, in denen ambige Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ enthalten sind.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 493. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/510&oldid=- (Version vom 31.7.2018)