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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Auch die Sätze 41, 64, 65, 67 in meiner Abhandlung lassen sich mit Hilfe des erweiterten Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)$ unmittelbar auf den Fall des hier betrachteten Grundkörpers $k$ übertragen.

Wenn die in ursprünglichem Sinne verstandene Klassenzahl $h$ des Körpers $k$ nicht $1$, sondern irgendeine ungerade Zahl ist, so bedürfen die Sätze in § 4 bis § 6 nur einer geringen und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmenden Abänderung.

§ 7.

Wenn für den Körper $k$ insbesondere $s-p=0$ ausfällt, so wird ${\overline {h}}=1$ und Satz 6 lehrt dann, das es keinen unverzweigten Körper in bezug auf $k$ gibt. Wir wollen den nächst einfachen Fall $s-p=1,{\overline {h}}=2$ betrachten und vor allem die am Schluß von § 5 angedeuteten Gesetze der Zerlegung der Primideale in $k$ näher erörtern. Es mögen daher fortan für den Grundkörper $k$ folgende speziellere Annahmen gelten:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k,k',k'',\dots ,k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s(>0)$ reelle Körper; es seien dies die Körper $k,k',k'',\dots ,k^{(s-1)}$.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen des Körpers $k$, im ursprünglichen weiteren Sinne verstanden, sei gleich $1$; die Anzahl ${\overline {h}}$ der Idealklassen des Körpers $k$, im engeren Sinne verstanden, sei gleich $2$.

Unter diesen Annahmen ist der in § 5 erwähnte Klassenkörper $Kk$ relativquadratisch und besitzt folgende Eigenschaften:

Satz 8a. Der Klassenkörper $Kk$ hat in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$ d. h. er ist unverzweigt in bezug auf $k$.

Satz 8b. Die Klassenanzahl ${\overline {H}}$ des Klassenkörpers $Kk$, in engerem Sinne verstanden, ist ungerade.

Satz 8c. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale im engeren Sinne sind, zerfallen in $Kk$ in das Produkt zweier Primideale. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale im engeren Sinne sind, bleiben in $Kk$ Primideale.

Von diesen drei Eigenschaften 8a, 8b, 8c charakterisiert jede für sich allein bei unseren Annahmen über den Körper $k$ in eindeutiger Weise den Klassenkörper $Kk$·

Zum Beweise der Existenz des Klassenkörpers $Kk$ ist es erforderlich zu zeigen, daß es unter den hier gemachten Annahmen stets eine Einheit $\varepsilon$ in $k$ gibt, die kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, ohne daß sie das Quadrat einer Einheit in $k$ wird. Der verlangte Klassenkörper $Kk$ ist dann der Körper $K({\sqrt {\varepsilon }})$. Der Beweis für die Existenz einer solchen Einheit $\varepsilon$ läßt sich durch eine ähnliche Schlußweise führen, wie sie in: § 9 beim Beweise der Sätze 9a, 9b, 9c angewandt werden wird.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 490. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/507&oldid=- (Version vom 31.7.2018)