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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

sein; die Relativnorm $N({\mathsf {B}})$ dieser Zahl ist offenbar von der Gestalt $\textstyle {\frac {\varepsilon \nu ^{h}}{\alpha ^{2}}}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt, daß für jedes beliebige Primideal ${\mathfrak {w}}$ notwendig $\textstyle \left({\frac {\varepsilon v^{h}\alpha ^{2},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ und daher auch $\textstyle \left({\frac {\varepsilon ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ sein muß. Es ist nun im ersten Teil des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen $\varepsilon$ stets gleich der Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sein muß; wir setzen $\varepsilon =N({\mathsf {\Gamma }})$, wo ${\mathsf {\Gamma }}$ eine Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ ist. Es folgt dann

$\nu =N\left({\frac {{\mathsf {B}}\cdot \alpha }{{\mathsf {\Gamma }}\cdot \nu ^{\frac {h-1}{2}}}}\right)$,

und hiermit ist der Beweis für Satz 65 vollständig erbracht.

§ 44. Die ternäre quadratische Diophantische Gleichung im Körper $\mathbf {k}$.

Den Inhalt des Satzes 65 können wir auch auf folgende Weisen aussprechen:

Satz 66. Wenn $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung

$\nu \xi ^{2}+\mu \eta ^{2}=1$

in ganzen oder gebrochenen Zahlen $\xi$, $\eta$ des Körpers $k$ stets dann lösbar, wenn für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k$ die Bedingung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=1$

erfüllt ist.

Satz 67. Wenn $\nu$, $\mu$ irgend zwei beliebige ganze Zahlen des Körpers $k$ bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung

$\nu \xi ^{2}+\mu \eta ^{2}=1$

in ganzen oder gebrochenen Zahlen $\xi$, $\eta$ des Körpers $k$ stets dann lösbar, wenn die Kongruenz

$\nu \xi ^{2}+\mu \eta ^{2}\equiv 1$

nach jedem Primideal des Körpers $k$ und nach jeder Potenz eines solchen in ganzen Zahlen $\xi$, $\eta$ des Körpers $k$ lösbar ist.

Beweis. Falls $\mu$ das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ ist, wird jener Diophantischen Gleichung durch $\xi =0$, $\textstyle \eta ={\frac {1}{\sqrt {\mu }}}$ genügt. Es sei nun $\mu$ nicht das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$. Es sei ferner ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal in $k$ und ${\mathfrak {w}}^{L}$ eine beliebige Potenz von ${\mathfrak {w}}$; endlich seien $\xi$, $\eta$ ganze Zahlen in $k$, die der im Satze 67 aufgestellten Kongruenz nach ${\mathfrak {w}}^{L}$ genügen. Da offenbar $\xi$, $\eta$ nicht beide zugleich durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar sein können, so dürfen wir annehmen, daß etwa $\xi$ zu ${\mathfrak {w}}$ prim ausfiele: dann ist wegen

$\nu \equiv N\left({\frac {1+\eta {\sqrt {\mu }}}{\xi }}\right),\quad ({\mathfrak {w}}^{L})$

die Zahl $\nu$ Normenrest des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach ${\mathfrak {w}}$ und folglich erfüllen die

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 481. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/498&oldid=- (Version vom 9.9.2019)