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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

so liefern sie für die Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, …, $\textstyle u_{\frac {m}{2}}$ gewisse $r^{*}$ lineare Kongruenzen nach dem Modul $2$, die, wie man leicht erkennt, voneinander unabhängig sind; es folgt somit, daß alle diejenigen Einheiten $\xi$, die den Bedingungen (1) genügen, insgesamt

$2^{{\frac {m}{2}}-r^{*}}=2^{{\frac {m}{2}}-t+r}$

Einheitenverbände ausmachen.

Wir haben zu Beginn dieses Beweises festgestellt, daß die Anzahl der Einheitenverbände, soweit sie aus Einheiten, die Relativnormen sind, entspringen, in gleicher Anzahl vorhanden sind. Da ferner jede Einheit in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl $K({\sqrt {\mu }})$ ist, offenbar Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$ sein und daher notwendig den Gleichungen (1) genügen muß, so ist jeder Verband der zu Anfang behandelten Einheiten auch unter den Verbänden enthalten, deren Einheiten $\xi$ den Gleichungen (1) genügen; da die Anzahlen beider Systeme von Einheitenverbänden die gleiche ist, so sind die beiden Systeme miteinander identisch. Die vorgelegte Einheit $\nu$ genügt nach Voraussetzung den Bedingungen (1) und ist mithin nach dem eben Bewiesenen die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$.

Es sei jetzt $\nu$ eine beliebige Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$, welche die Voraussetzung des Satzes 65 erfüllt. Sind dann ${\mathfrak {n}}_{1}$, ${\mathfrak {n}}_{2}$, … die höchsten in $\nu$ aufgehenden Potenzen von Primidealen des Körpers $k$, so muß es wegen der Voraussetzung des Satzes 65 gewiß ganze Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}$, … in $K({\sqrt {\mu }})$ geben von der Art, daß die Kongruenzen gelten

${\begin{aligned}\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{1}),\quad ({\mathfrak {n}}_{1}^{2}),\\\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{2}),\quad ({\mathfrak {n}}_{2}^{2}),\\&\,\vdots \end{aligned}}$

Bezeichnet also ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$, die kongruent ${\mathsf {A}}_{1}$ nach ${\mathfrak {n}}_{1}^{2}$, kongruent ${\mathsf {A}}_{2}$ nach ${\mathfrak {n}}_{2}^{2}$, usf. ausfällt, so erhalten wir

$\nu \equiv N({\mathsf {A}}),\quad (\nu ^{2})$.

(2)

Betrachten wir nun in $K({\sqrt {\mu }})$ das Ideal

${\mathfrak {H}}=(\nu ,\,{\mathsf {A}})$,

so ergibt sich wegen (2)

${\mathfrak {H}}\cdot S{\mathfrak {H}}=(\nu ,\,{\mathsf {A}})(\nu ,\,S{\mathsf {A}})=(\nu ^{2},\,\nu {\mathsf {A}},\,\nu S{\mathsf {A}},\,{\mathsf {A}}S{\mathsf {A}})=(\nu )$

und hieraus folgt, daß $\nu$ die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {H}}$ in $K({\sqrt {\mu }})$ sein muß.

Wegen der Voraussetzung des Satzes 65 gehört ${\mathfrak {H}}$ notwendig dem Hauptgeschlecht von $K({\sqrt {\mu }})$ an und wir können daher nach Satz 64

${\mathfrak {H}}\sim {\mathfrak {jJ}}^{2}$

setzen in solcher Weise, daß ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ und ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet. Wegen ${\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$ muß $\textstyle {\mathsf {B}}=({\frac {\mathfrak {H}}{{\mathfrak {J}}^{2}}})^{h}$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 480. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/497&oldid=- (Version vom 9.9.2019)