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Satz 64. Jeder Komplex des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper ist das Quadrat eines Komplexes in , d. h. jede Klasse des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat einer Klasse und aus einer solchen Klasse, welche Ideale des Grundkörpers enthält.

Beweis. In dem Beweise zu Satz 25 ist die Gleichung abgeleitet worden; hierbei haben und die Bedeutung wie in Satz 63; ferner bedeutet die Anzahl derjenigen Komplexe, welche gleich Quadraten von Komplexen sind und die Anzahl der Komplexe des Hauptgeschlechtes. Da nach Satz 63 ist, so folgt und damit ist bewiesen, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes das Quadrat eines Komplexes ist.

§ 43. Der Satz von den Relativnormen eines relativquadratischen Körpers.

Satz 65. Wenn , irgend zwei beliebige ganze Zahlen des Körpers bedeuten, von denen nicht das Quadrat einer Zahl in ist, und welche für jedes Primideal in die Bedingung

erfüllen, so ist die Zahl stets gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers .

Beweis. Wir beweisen diesen Satz zunächst für den Fall, daß eine Einheit in ist. Es mögen und die Bedeutung wie in Satz 23 haben; im Beweise zu Satz 63 ist gezeigt worden, daß sein muß: d. h. es ist . Die Anzahl der Einheitenverbände in , soweit sie aus Einheiten, die Relativnormen sind, entspringen, beträgt also .

Andererseits betrachten wir die Einheiten , …, , die in § 17 bestimmt worden sind. Aus den Gleichungen (1) in § 17 erkennen wir leicht, daß die aus , …, entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. Es müssen sich daher solche Einheitenverbände finden lassen, die mit jenen zusammen ein System von unabhängigen Einheitenverbänden bilden. Sind , …, Einheiten bez. aus diesen Einheitenverbänden, so läßt sich offenbar jede beliebige Einheit des Körpers in der Gestalt

darstellen, wo , …, gewisse Exponenten , und eine geeignete Einheit in bedeutet. Betrachtet man nun die Gleichungen

, , …, , (1)