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d. h. es gelten die Gleichungen

(5)

Da , …, , , …, die sämtlichen zu primen Teiler der Relativdiskriminante von sind, so können wir

setzen, wo eine ganze Zahl in ist, deren Primfaktoren sämtlich in aufgehen, und wo irgendeine bestimmte ganze Zahl in bedeutet. Nach Satz 60 ist

und folglich erhalten wir wegen (4), (5)

;

da nun angenommen worden ist, so ergibt sich auch , d. h. zerfällt in in zwei Primfaktoren. Mit Rücksicht auf (4), (5) haben die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren die Werte

, …, .

Hieraus schließen wir genau wie bei dem in § 29 entwickelten Beweise die Richtigkeit des Satzes 41 im allgemeinen Falle.

Wir haben damit die wichtigste Frage nach der Anzahl der Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper vollständig erledigt.

§ 42. Die Klassen des Hauptgeschlechtes.

Wir heben in diesem und in den folgenden Paragraphen einige Folgerungen hervor, die sich aus dem Satze 41 ergeben.

Satz 63. Die Anzahl der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper ist gleich der Anzahl seiner ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn und die Bedeutung wie in Satz 23 haben und wenn wir berücksichtigen, daß nach Satz 41 ist, so folgt aus den Sätzen 23 und 25

und da andererseits nach Satz 24

sein muß, so erhalten wir

;

nach Satz 23 ist mithin die Anzahl der ambigen Komplexe

.