d. h. es gelten die Gleichungen
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(5)
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Da
, …,
,
, …,
die sämtlichen zu
primen Teiler der Relativdiskriminante von
sind, so können wir
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setzen, wo
eine ganze Zahl in
ist, deren Primfaktoren sämtlich in
aufgehen, und wo
irgendeine bestimmte ganze Zahl in
bedeutet. Nach Satz 60 ist
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und folglich erhalten wir wegen (4), (5)
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;
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da nun
angenommen worden ist, so ergibt sich auch
, d. h.
zerfällt in
in zwei Primfaktoren. Mit Rücksicht auf (4), (5) haben die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren die Werte
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, …, .
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Hieraus schließen wir genau wie bei dem in § 29 entwickelten Beweise die Richtigkeit des Satzes 41 im allgemeinen Falle.
Wir haben damit die wichtigste Frage nach der Anzahl der Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper
vollständig erledigt.
§ 42. Die Klassen des Hauptgeschlechtes.
Wir heben in diesem und in den folgenden Paragraphen einige Folgerungen hervor, die sich aus dem Satze 41 ergeben.
Satz 63. Die Anzahl
der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper ist gleich der Anzahl
seiner ambigen Komplexe.
Beweis. Wenn
und
die Bedeutung wie in Satz 23 haben und wenn wir berücksichtigen, daß nach Satz 41
ist, so folgt aus den Sätzen 23 und 25
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und da andererseits nach Satz 24
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sein muß, so erhalten wir
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;
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nach Satz 23 ist mithin die Anzahl der ambigen Komplexe
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.
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