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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

eines einfachen Verzweigungspunktes den Vollwinkel auf die Hälfte desselben konform abbildet. Infolgedessen nenne ich die in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $k$ auch Verzweigungsideale für den Körper $K({\sqrt {\mu }})$. Die Verzweigungsideale sind die Quadrate oder die Relativnormen der ambigen Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.

§ 41. Beweis des Fundamentalsatzes über die Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper.

In § 17 bis § 19, sowie in § 29 hatten wir die vorläufige Annahme gemacht, daß die Relativdiskriminante des zu untersuchenden Körpers $K$ zu $2$ prim ausfällt. Da wir erkannt haben, daß alle wesentlichen Eigenschaften des Symbols $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ auch für die in $2$ enthaltenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ gültig sind, so kann nunmehr jene vorläufige Annahme beseitigt werden.

Wir bezeichnen wie bisher mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl $2$ und setzen

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$.

Zunächst lassen sich die Definitionen 11 und 12 der Begriffe „Charakterensystem“ und „Geschlecht“ unmittelbar auf den Fall ausdehnen, daß die Relativdiskriminante von $K$ Faktoren aus der Reihe der Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ enthält; wir haben hierbei nur die Bemerkung am Schluß des § 38 zu berücksichtigen.

Desgleichen können wir die Beweise der Sätze 24, 25, 26 sofort auf den gegenwärtigen allgemeinen Fall übertragen, und es gilt demnach insbesondere auch der Satz 26 für jeden beliebigen relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\mu }})$.

Endlich entsteht die Aufgabe, den fundamentalen Satz 41 auch in dem Falle zu beweisen, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ Primfaktoren der Zahl $2$ enthält. Um diesen Beweis zu entwickeln, behalten wir die in § 29 festgesetzten Bezeichnungen bei; es ist hierbei nur zu beachten, daß im gegenwärtigen Falle unter den Primidealen ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$ auch solche vorkommen, die in der Zahl $2$ aufgehen.

Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z^{*}}$ diejenigen Primfaktoren von $2$, die unter den $r$ Idealen ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r}$ vorkommen; wir setzen etwa

${\mathfrak {l}}_{1}={\mathfrak {d}}_{r-z^{*}+1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z^{*}}={\mathfrak {d}}_{r}$,

so daß die $r-z^{*}$ Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}$ zu $2$ prim sind. Es mögen nun $c_{1}$, …, $c_{r}$ irgend beliebige $r$ der Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ genügende Einheiten $\pm 1$ sein. Wegen Satz 62 kann man gewiß $z^{*}$ ganze zu $2$ prime Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{z^{*}}$ finden, so daß

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=c_{r-z^{*}+1}$, …, $\left({\frac {\nu _{z^{*}},\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=c_{r}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 476. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/493&oldid=- (Version vom 9.9.2019)