, …,
von
verschieden ausfällt. Im ersten Falle können die Exponenten
, …,
nicht ebenfalls sämtlich verschwinden, da sonst
nach dem Modul
und mithin der Voraussetzung entgegen die Relativdiskriminante von
prim zu
wäre. Ist also etwa
, so wird mit Berücksichtigung der Sätze 50 und 36
|
.
|
Im zweiten Falle sei etwa
; dann schließen wir auf die nämliche Weise
|
.
|
Nehmen wir im ersten Falle
, im zweiten
, so ist gezeigt, daß es im Körper
stets eine Zahl
gibt, welche Normennichtrest des Körpers
nach
wird.
Wegen
sind nach Satz 47 zwei nach
kongruente zu
prime ganze Zahlen in
stets gleichzeitig Normenreste oder Normennichtreste nach
. Wir bezeichnen nun mit
,
, …,
ein System ganzer Zahlen in
von folgender Beschaffenheit: die Zahlen
, …,
sollen nach
untereinander inkongruente und zu
prime Normenreste nach
sein; endlich soll jede zu
prime Zahl, welche Normenrest nach
ist, einer jener Zahlen
, …,
nach
kongruent sein. Ist nun
ein zu
primer Normennichtrest nach
, so sind die Zahlen
,
, …,
wegen der zweiten Formel in Satz 51 sämtlich Normennichtreste nach
und wir können leicht zeigen, daß jeder beliebige zu
prime Normennichtrest nach
einer dieser
Zahlen nach
kongruent ausfällt. In der Tat bestimmen wir eine ganze Zahl
, so daß
nach
ausfällt, so folgt wegen
mit Rücksicht auf Satz 47 die Gleichung
|
;
|
es ist folglich auch
Normennichtrest nach
. Bedeutet nun
irgendeinen beliebigen Normennichtrest nach
, so ist
Normenrest nach
und folglich einer der Zahlen
, …,
nach
kongruent; es sei etwa
nach
; dann ist
nach
.
Aus dieser Betrachtung ergibt sich unmittelbar die Richtigkeit der zweiten Aussage des Satzes 62 für den Fall, daß
zu
prim ist. Der vollständige Nachweis dieser zweiten Aussage gelingt leicht durch ein ähnliches Schlußverfahren unter Heranziehung von Satz 56.
Die in den beiden Sätzen 15 und 62 ausgesprochene Tatsache entspricht gewissermaßen dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung