Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/492

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

$v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ von $0$ verschieden ausfällt. Im ersten Falle können die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ nicht ebenfalls sämtlich verschwinden, da sonst $\mu ^{*}\equiv \mu \equiv \beta ^{2}$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}^{2l}$ und mithin der Voraussetzung entgegen die Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ prim zu ${\mathfrak {l}}$ wäre. Ist also etwa $u_{i}=1$, so wird mit Berücksichtigung der Sätze 50 und 36

$\left({\frac {\varkappa _{i},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varkappa _{i},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa _{i},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1$.

Im zweiten Falle sei etwa $v_{i}=1$; dann schließen wir auf die nämliche Weise

$\left({\frac {\varepsilon _{i},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varepsilon _{i},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varepsilon _{i},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1$.

Nehmen wir im ersten Falle $\nu =\varkappa _{i}$, im zweiten $\nu =\varepsilon _{i}$, so ist gezeigt, daß es im Körper $k$ stets eine Zahl $\nu$ gibt, welche Normennichtrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {l}}$ wird.

Wegen $L>2l$ sind nach Satz 47 zwei nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruente zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen in $k$ stets gleichzeitig Normenreste oder Normennichtreste nach ${\mathfrak {l}}$. Wir bezeichnen nun mit $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, …, $\nu _{s}$ ein System ganzer Zahlen in $k$ von folgender Beschaffenheit: die Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{s}$ sollen nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ untereinander inkongruente und zu ${\mathfrak {l}}$ prime Normenreste nach ${\mathfrak {l}}$ sein; endlich soll jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl, welche Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$ ist, einer jener Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{s}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruent sein. Ist nun $\nu$ ein zu ${\mathfrak {l}}$ primer Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$, so sind die Zahlen $\nu \nu _{1}$, $\nu \nu _{2}$, …, $\nu \nu _{s}$ wegen der zweiten Formel in Satz 51 sämtlich Normennichtreste nach ${\mathfrak {l}}$ und wir können leicht zeigen, daß jeder beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$ einer dieser $s$ Zahlen nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruent ausfällt. In der Tat bestimmen wir eine ganze Zahl $\nu ^{*}$, so daß $\nu \nu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ ausfällt, so folgt wegen $L>2l$ mit Rücksicht auf Satz 47 die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{\ast },\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=-1$;

es ist folglich auch $\nu ^{*}$ Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$. Bedeutet nun $\nu '$ irgendeinen beliebigen Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$, so ist $\nu '\nu ^{*}$ Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich einer der Zahlen $\nu _{1}$, …, $\nu _{s}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ kongruent; es sei etwa $\nu '\nu ^{*}\equiv \nu _{i}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$; dann ist $\nu \nu '\nu ^{*}\equiv \nu '\equiv \nu \nu _{i}$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$.

Aus dieser Betrachtung ergibt sich unmittelbar die Richtigkeit der zweiten Aussage des Satzes 62 für den Fall, daß $\mu$ zu $2$ prim ist. Der vollständige Nachweis dieser zweiten Aussage gelingt leicht durch ein ähnliches Schlußverfahren unter Heranziehung von Satz 56.

Die in den beiden Sätzen 15 und 62 ausgesprochene Tatsache entspricht gewissermaßen dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 475. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/492&oldid=- (Version vom 9.9.2019)