so daß
ausfällt: dann gilt die Gleichung
|
.
|
Zum Beweise des Satzes 61 setze man in 60
,
ein.
Der Satz 61 heiße der zweite Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für die quadratischen Reste im Körper
.
§ 40. Die Anzahl der Normenreste nach einem in
aufgehenden Primideal.
Es gelingt jetzt, die Aussagen des Satzes 15 auf die Primfaktoren der Zahl
auszudehnen. Wir sprechen den folgenden Satz aus:
Satz 62. Es sei
ein Primfaktor von
und zwar gehe
genau zur
-ten Potenz in 2 auf: wenn dann die Relativdiskriminante des Körpers
nicht durch
teilbar ist, so ist jede zu
prime ganze Zahl
in
Normenrest des Körpers
nach
.
Wenn dagegen die Relativdiskriminante des Körpers
den Faktor
enthält und
einen beliebigen Exponenten größer als
bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu
primen und nach
inkongruenten Zahlen
in
genau die Hälfte Normenreste des Körpers
nach
.
Beweis. Wenn
nicht in der Relativdiskriminante von
aufgeht, so können wir mit Rücksicht auf Satz 4 und 6 annehmen, daß
kongruent dem Quadrat einer ganzen zu
primen Zahl nach
ausfällt. Eine gemäß Definition 17 zu
bestimmte Zahl
wird dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
und folglich erhalten wir nach Satz 36
und mithin nach Satz 50 auch
; damit ist die erste Aussage des Satzes 62 als richtig erkannt.
Und um die zweite Aussage des Satzes 62 zu beweisen, nehmen wir zunächst
prim zu
an; es sei
eine gemäß Definition 17 zu
bestimmte ganze Zahl in
. Wir haben in Satz 29 gewisse
Primideale
, …,
aufgestellt und aus diesen gewisse ganze Zahlen
, …,
abgeleitet, so daß dann nach diesem Satze jede zu
prime ganze Zahl des Körpers
nach dem Modul
in der dort angegebenen Gestalt darstellbar ist; wir setzen somit insbesondere
|
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worin die Exponenten
, …,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet.
Wir unterscheiden im folgenden zwei Fälle, je nachdem die Exponenten
, …,
sämtlich gleich
sind oder mindestens einer dieser Exponenten