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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{z}$ im Körper $K({\sqrt {\mu ^{*}}})$ derart, daß

${\begin{aligned}\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{1}),\quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1+b_{1}}),\\&\vdots \\\nu &\equiv N({\mathsf {A}}_{z}),\quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{z}+1+b_{z}})\end{aligned}}$

ausfällt. Wenn wir ähnlich wie im Beweise zu Satz 49 aus den Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{z}$ eine Zahl ${\mathsf {A}}$ konstruieren und dann in entsprechender Weise wie am genannten Ort verfahren, so erkennen wir ohne Schwierigkeit die Richtigkeit des Satzes 58.

Die beiden Sätze 57 und 58 zusammen genommen ergeben das Resultat:

Satz 59. (Hilfssatz). Wenn ${\mathfrak {l}}$ irgendein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ bedeuten, dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Mit Hilfe des Satzes 59 können wir leicht die in Satz 51 für das Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ aufgestellten drei Formeln auch in dem Falle als richtig nachweisen, daß $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$ sind. Das Schlußverfahren zum Beweise der ersten Formel entspricht demjenigen, das zum Beweise der ersten Formel des Satzes 51 angewandt worden ist. Die Richtigkeit der beiden letzten Formeln folgt unmittelbar aus Satz 55 und 59. Wir erkennen hiernach, daß die für das Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ in Satz 14 aufgestellten Formeln allgemein für beliebige ganze Zahlen $\nu$, $\mu$ in $k$ und in bezug auf jedes beliebige Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k$ gültig sind.

§ 39. Das Produkt $\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ für beliebige ganze Zahlen $\nu$, $\mu$.

Wir sind nunmehr imstande, einen Satz auszusprechen und zu beweisen, der als die weiteste Verallgemeinerung der Sätze 36, 40 und 52 anzusehen ist und der zugleich, wie mir scheint, das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper $k$ auf die einfachste und vollständigste Weise zum Ausdruck bringt. Dieser Satz lautet:

Satz 60. Wenn $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ sind, so ist stets

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo das Produkt über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll.

Zum Beweise dieses Satzes gelangen wir durch eine entsprechende Schlußweise, wie sie zum Beweise des Satzes 52 angewandt worden ist.

Wir heben endlich noch eine besondere Folgerung des Satzes 60 hervor.

Satz 61. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}(={\mathfrak {l}})$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$, und $\lambda$ bedeute eine ganze Zahl in $k$ derart, daß das Ideal ($\lambda$) die $h$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ wird; ferner sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal und $\pi$ eine ganze Zahl in $k$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 473. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/490&oldid=- (Version vom 9.9.2019)