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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

folgenden zwei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ ein nichtprimäres oder ein primäres Primideal ist.

Im ersteren Falle erweist sich durch eine ähnliche Betrachtung, wie sie im dritten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 462) angestellt wurde, die Klassenanzahl des Körpers $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ als ungerade und es folgt hieraus mit Hinzuziehung von (8) wie in dem eben genannten Beweise, daß $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl in $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ ist.

Im zweiten Falle verteilen wir ähnlich wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 460–462) die Komplexe des Körpers $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ in zwei Geschlechter und zeigen dann, wie dort, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes gleich dem Quadrat eines Komplexes wird. Berücksichtigen wir, daß wegen (8) jedes durch Zerlegung von ${\mathfrak {q}}$ entstehende Primideal in $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ dem Hauptgeschlechte angehört, so folgt wiederum, daß $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl in $K({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}})$ ist.

In beiden vorhin unterschiedenen Fällen erhalten wir mithin

$\left({\frac {\varkappa ,\,\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$

und da die Zahlen $\pi ^{*}\mu ^{*}$ und $\varkappa \varrho \sigma$ Quadraten von ganzen Zahlen in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfallen, so folgt auf Grund des Satzes 56 schließlich auch

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Hiermit ist Satz 57 bewiesen.

Satz 58. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal in $k$ und ferner seien $\nu ,\,\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen und bestimmen eine ganze Zahl $\mu ^{*}$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu \quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1+a}),\\\mu ^{*}&\equiv 1\quad ({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ ist; dann haben wir nach Satz 56

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i=2,\,3,\,\ldots z).\end{aligned}}\right\}$

(9)

Es mögen nun in der Zahl $\nu$ die Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ bez. genau zur $b_{1}$, …, $b_{z}$-ten Potenz aufgehen; infolge der Gleichungen (9) gibt es gewisse

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 472. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/489&oldid=- (Version vom 9.9.2019)